Calculateur de factorielle / Permutations / Combinaisons
Entre n et k. Retourne n!, P(n,k) (sélections ordonnées) et C(n,k) (sélections non ordonnées). Utile pour les probabilités, les statistiques et les devoirs de combinatoire.
Fonctionnement
Factorielle
n! (se lit 'factorielle n') est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Donc 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Par convention, 0! = 1 (le produit vide).
Les factorielles croissent extrêmement vite. 10! = 3,6M, 20! = 2,4×10¹⁸, 100! a 158 chiffres. La virgule flottante casse à 21! (à cause de la limite de précision double) ; nous utilisons BigInt pour des valeurs exactes jusqu'à n=5000.
Permutations vs combinaisons
Permutations P(n,k) = n! / (n−k)! : nombre de façons ordonnées de choisir k éléments parmi n. P(5,2) = 20 : choisir le premier parmi 5, le deuxième parmi les 4 restants = 5×4 = 20.
Combinaisons C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) : nombre de façons non ordonnées. C(5,2) = 10 : mêmes choix mais {premier, second} = {second, premier} donc on divise par 2!. Le célèbre 'k parmi n'.
Utilise les permutations quand l'ordre compte (podium d'une course, ordre d'un mot de passe). Utilise les combinaisons quand seul l'ensemble choisi compte (numéros de loterie, sélection d'un comité). C(n,k) ≤ P(n,k) toujours ; égaux quand k=1.
Où ces notions apparaissent
Probabilités : dés, cartes, pièces. P(3 faces sur 5 lancers) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Les combinaisons permettent de compter les résultats favorables.
Statistiques : la distribution binomiale utilise C(n,k). L'échantillonnage sans remise utilise les combinaisons.
Informatique : comptage de sous-ensembles, analyse de complexité (ex. l'énumération des k-cliques est C(n,k)), algorithmes de graphes.
Vie courante : probabilités à la loterie (EuroMillions : C(50,5) × C(12,2) ≈ 139 millions de combinaisons). Menus de restaurant : 'choisir 3 accompagnements parmi 8' est C(8,3) = 56 façons.
Questions fréquentes
›Pourquoi 0! = 1 ?
Par convention, le 'produit vide' vaut 1 (tout comme la somme vide vaut 0). Cela permet aussi aux formules comme C(n,0) = 1 (une façon de ne choisir rien) de fonctionner de façon cohérente.
›Quelle est la plus grande factorielle que ça peut calculer ?
n=5000 donne un nombre de 16 326 chiffres. Nous plafonons à 5000 pour empêcher le navigateur de geler sur de très grandes entrées. Pour des valeurs plus grandes, utilise un système de calcul formel.
›Quelle est la différence entre permutations et combinaisons ?
L'ordre compte dans les permutations, pas dans les combinaisons. {A,B} est la même combinaison que {B,A} mais deux permutations différentes : AB et BA.
›Les factorielles sont-elles définies pour les nombres négatifs ?
Pas au sens standard. La fonction gamma Γ(x) étend la factorielle à tous les réels (et complexes), mais notre calculateur ne gère que les entiers non négatifs.
›Quelle est la formule des combinaisons ?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Se lit 'k parmi n'. Équivalent à P(n,k) / k! puisque l'ordre ne compte pas.
›Quelle est la précision ?
Exacte pour toutes les valeurs dans la plage. Nous utilisons l'arithmétique BigInt, qui n'a pas d'erreur en virgule flottante.
›Pourquoi 70! est-il tellement plus grand que 60! ?
Chaque factorielle multiplie par l'entier suivant. 70! est environ 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4 × 10¹⁷. Les factorielles croissent plus vite qu'une exponentielle — elles sont approximativement n^n × e^-n × √(2πn) selon l'approximation de Stirling.
›Les données quittent-elles mon navigateur ?
Non. Le calcul s'effectue localement ; rien n'est envoyé à un serveur.
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