Calculateur PGCD & PPCM (avec factorisation en nombres premiers)
Entre une liste d'entiers. Le calculateur retourne le PGCD (algorithme d'Euclide), le PPCM et la décomposition en facteurs premiers de chaque entrée. Gère les entiers de taille arbitraire via BigInt.
Décompositions en facteurs premiers
- 12 = 22 × 3
- 18 = 2 × 32
- 24 = 23 × 3
Fonctionnement
PGCD : le plus grand facteur commun
Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux sans reste. PGCD(12, 18) = 6 car 6 divise les deux et aucun entier plus grand ne le fait. PGCD(7, 13) = 1 car ils ne partagent aucun facteur (ces paires sont dites 'premières entre elles').
On utilise l'algorithme d'Euclide : pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b), de façon récursive. Il est connu depuis ~2 300 ans et reste la méthode standard la plus rapide. Pour trois nombres ou plus, pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c).
PPCM : le plus petit multiple commun
Le PPCM est le plus petit entier positif qui est un multiple des deux. PPCM(4, 6) = 12 car 12 est le premier nombre que 4 et 6 divisent tous les deux.
Formule : ppcm(a, b) = (a × b) / pgcd(a, b). Pour 4 et 6 : 24 / 2 = 12. Pour trois nombres : ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c).
Si l'un des nombres est 0, le PPCM est 0 (tout entier divise 0, mais le 'plus petit positif' est indéfini). Le calculateur retourne 0 dans ce cas.
Pourquoi c'est utile
Fractions : pour additionner 1/4 + 1/6, on trouve PPCM(4, 6) = 12 comme dénominateur commun. 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12, somme = 5/12.
Planification : si l'événement A se répète tous les 4 jours et l'événement B tous les 6 jours, ils coïncident tous les PPCM(4, 6) = 12 jours.
Cryptographie : les algorithmes basés sur le PGCD (Euclide étendu) sont au cœur de la génération de clés RSA et des calculs d'inverse modulaire.
Théorie musicale : des rythmes de périodes 3 et 4 se synchronisent après 12 temps (PPCM).
Questions fréquentes
›Et si mes nombres sont premiers entre eux ?
PGCD = 1 et PPCM = produit de tous les nombres. Premiers entre eux signifie qu'ils ne partagent aucun facteur premier.
›Puis-je entrer des nombres négatifs ?
Oui. On utilise les valeurs absolues pour les calculs PGCD/PPCM. −12 et 18 donnent PGCD 6 et PPCM 36, comme 12 et 18.
›Et si j'entre 0 ?
PGCD(0, n) = |n| (puisque tout entier divise 0, et n est le plus grand pour cette paire). PPCM avec 0 est 0 par convention. Avec tous des zéros, PGCD et PPCM sont indéfinis.
›Quelle est la taille maximale des nombres ?
On utilise BigInt en interne, donc l'arithmétique sur des entiers de taille quelconque est exacte. La limite pratique est ta vitesse de frappe et l'espace sur l'écran.
›Pourquoi la décomposition en facteurs premiers est-elle utile ?
PGCD = produit des facteurs premiers communs (en prenant le plus petit exposant). PPCM = produit de tous les facteurs premiers présents dans l'un ou l'autre nombre (en prenant le plus grand exposant). Les décompositions rendent ces relations visibles.
›Quelle est la relation entre PGCD et PPCM ?
Pour deux nombres : a × b = pgcd(a, b) × ppcm(a, b). Donc si tu connais trois des quatre valeurs {a, b, pgcd, ppcm}, tu peux calculer la quatrième. Cette relation ne se généralise pas simplement à trois nombres ou plus.
›Puis-je l'utiliser pour le PGCD de polynômes ?
Non, cet outil ne gère que les entiers. Pour les polynômes, utilise un système de calcul formel comme SymPy ou Maxima.
›Les données quittent-elles mon navigateur ?
Non. Le calcul s'effectue localement ; rien n'est envoyé à un serveur.
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