数列生成計算機 — 等差・等比・フィボナッチ・素数など

等差数列は隣り合う項の差が一定です（例：2, 5, 8, 11 — 差が3）。等比数列は隣り合う項の比が一定です（例：2, 6, 18, 54 — 比が3）。等差数列は線形的に増加し、等比数列は指数的に増加します。

閉じた形の公式（ビネの公式）はF(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5です。ここでφ = (1+√5)/2 ≈ 1.618（黄金比）、ψ = (1-√5)/2 ≈ -0.618です。実際には直前の2項を加算する反復計算の方が簡単で、この計算機もその方法を使っています。

はい。ユークリッドは紀元前300年頃に背理法でこれを証明しました。有限個の素数p1, p2, ..., pnがあると仮定します。するとp1×p2×...×pn + 1はリストにない素数か、リストにない素数で割り切れるため、矛盾が生じます。この証明は数学で最もエレガントな証明の一つとされています。

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2です。これは第n三角数です。例えば1+2+3+4+5 = 15で、5×6/2 = 15。この公式は1〜100の和を計算した少年時代のガウスに有名に再発見されました。両端から数を組み合わせると50組の101ができ、合計5,050になることを見抜きました。

数列は符号が交互に変わります：例えばa=2、r=-3の場合、数列は2, -6, 18, -54, 162... となります。これも等比数列として有効です。|r| > 1の場合は絶対値が増大し、|r| < 1の場合は絶対値が減少します。r = -1の場合は+aと-aが交互に現れます。

三角数は正三角形に配置できる物の数を数えます：1個、3個（辺2の三角形）、6個（辺3）、10個（辺4）。組み合わせ数にも現れ、第n三角数T(n) = C(n+1, 2)は「n+1個から2個選ぶ組み合わせ数」です。最初のn個の自然数の和とも等しく、パスカルの三角形の3列目にも登場します。

はい。等差数列と等比数列では、初項と公差または公比に小数を使用できます。例えば初項0.5、公差0.25の等差数列は0.5, 0.75, 1.0, 1.25... となります。合計値は完全な浮動小数点精度で計算されます。

この生成器は試し割り法を使って最初のN個の素数を求めます。最大50項の場合、50番目の素数は229で、計算範囲内です。この方法は小さな素数には高速ですが、非常に大きな素数では遅くなります。大きな素数の生成にはミラー-ラビン素数判定法などの確率的テストが使われます。