수열 생성기 — 등차, 등비, 피보나치 등

등차수열은 연속 항 사이의 차이가 일정합니다(예: 2, 5, 8, 11 — 공차 3). 등비수열은 연속 항 사이의 비율이 일정합니다(예: 2, 6, 18, 54 — 공비 3). 등차수열은 선형 증가, 등비수열은 지수적 증가를 나타냅니다.

닫힌 공식(비네 공식): F(n)=(φⁿ−ψⁿ)/√5, 여기서 φ=(1+√5)/2≈1.618(황금비율), ψ=(1−√5)/2≈−0.618입니다. 실제로는 앞 두 항을 더하는 반복 계산이 더 간단하며, 본 계산기도 그 방식을 사용합니다.

그렇습니다. 유클리드가 기원전 약 300년에 귀류법으로 증명했습니다. 소수가 유한 개 p1,p2,…,pn이라 가정하면, p1×p2×…×pn+1은 소수이거나 목록에 없는 소수로 나눌 수 있어 모순입니다. 이 증명은 수학에서 가장 우아한 증명 중 하나로 꼽힙니다.

1+2+3+…+n=n(n+1)/2로, 이것이 제n삼각수입니다. 예를 들어 1+2+3+4+5=15이고, 5×6/2=15입니다. 이 공식은 어린 가우스가 1부터 100까지의 합을 계산할 때 양 끝의 수를 짝지으면 101×50=5050이 됨을 발견했다는 일화로 유명합니다.

수열의 부호가 번갈아 바뀝니다. 예를 들어 a=2, r=−3이면 2, −6, 18, −54, 162…가 됩니다. 이것도 유효한 등비수열입니다. |r|>1이면 항의 절댓값이 증가하고, |r|<1이면 감소합니다. r=−1이면 수열은 +a와 −a 사이를 교대합니다.

삼각수는 정삼각형으로 배열할 수 있는 점의 수입니다: 1개, 3개(변 2), 6개(변 3), 10개(변 4). 조합론에 나타납니다: 제n삼각수 T(n)=C(n+1,2)는 n+1개 중 2개를 선택하는 경우의 수입니다. 첫 n개 자연수의 합과 같으며, 파스칼의 삼각형 세 번째 대각선에 나타납니다.

네. 등차수열과 등비수열의 첫째 항, 공차, 공비는 소수점 숫자도 가능합니다. 예를 들어 첫째 항 0.5, 공차 0.25인 등차수열은 0.5, 0.75, 1.0, 1.25…가 됩니다. 합은 전체 부동소수점 정밀도로 계산됩니다.

생성기는 시험 나눗셈을 사용해 처음 N개의 소수를 찾습니다. 최대 50항의 경우, 50번째 소수는 229로 계산 범위 안에 충분히 들어옵니다. 이 방법은 작은 소수에는 빠르지만 매우 큰 소수에는 느립니다. 큰 소수 생성에는 밀러-라빈과 같은 확률적 테스트가 사용됩니다.