Fakultät / Permutationen / Kombinationen Rechner

Gib n und k ein. Gibt n!, P(n,k) (geordnete Auswahlen) und C(n,k) (ungeordnete Auswahlen) zurück. Nützlich für Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Kombinatorik.

nk (für Permutationen / Kombinationen)

3628800

P(n, k) = n! / (n−k)! (Permutationen)

720

C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) (Kombinationen)

120

Wie es funktioniert

Fakultät

n! (gelesen 'n Fakultät') ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Also 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Per Konvention gilt 0! = 1 (das leere Produkt).

Fakultäten wachsen extrem schnell. 10! = 3,6 Mio., 20! = 2,4×10¹⁸, 100! hat 158 Stellen. Gleitkomma versagt ab 21! (wegen Double-Precision-Limit); wir verwenden BigInt für exakte Werte bis n=5000.

Permutationen vs. Kombinationen

Permutationen P(n,k) = n! / (n−k)!: Anzahl geordneter Möglichkeiten, k Elemente aus n zu wählen. P(5,2) = 20: Ersten Platz aus 5 wählen, zweiten aus verbleibenden 4 = 5×4 = 20.

Kombinationen C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): Anzahl ungeordneter Möglichkeiten. C(5,2) = 10: Dieselben Auswahlen, aber {Erster, Zweiter} = {Zweiter, Erster}, also durch 2! dividieren. Das berühmte 'n über k'.

Permutationen verwenden, wenn die Reihenfolge wichtig ist (Rennpodium, Passwort-Reihenfolge). Kombinationen verwenden, wenn nur die gewählte Menge wichtig ist (Lottozahlen, Ausschusswahl). C(n,k) ≤ P(n,k) immer; gleich bei k=1.

Wo diese vorkommen

Wahrscheinlichkeit: Würfel, Karten, Münzwürfe. P(3 Köpfe in 5 Würfen) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Kombinationen erlauben das Zählen günstiger Ergebnisse.

Statistik: Binomialverteilung verwendet C(n,k). Stichprobenziehung ohne Zurücklegen verwendet Kombinationen.

Informatik: Teilmengen zählen, Komplexitätsanalyse (z. B. k-Clique-Aufzählung ist C(n,k)), Graphalgorithmen.

Praxis: Lottoquoten (6 aus 49: C(49,6) ≈ 13,9 Mio. Kombinationen). Restaurantmenü-Kombinationen: '3 Beilagen aus 8 wählen' ist C(8,3) = 56 Möglichkeiten.

Häufige Fragen

›Warum ist 0! = 1?

Per Konvention ist das 'leere Produkt' 1 (genau wie die leere Summe 0 ist). Es lässt auch Formeln wie C(n,0) = 1 (eine Möglichkeit, nichts zu wählen) konsistent funktionieren.

›Was ist die größte Fakultät, die berechnet werden kann?

n=5000 ergibt eine 16.326-stellige Zahl. Wir begrenzen auf 5000, um das Einfrieren des Browsers bei riesigen Eingaben zu verhindern. Für größere Werte ein CAS verwenden.

›Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen?

Die Reihenfolge ist bei Permutationen wichtig, bei Kombinationen nicht. {A,B} ist dieselbe Kombination wie {B,A}, aber zwei verschiedene Permutationen: AB und BA.

›Sind Fakultäten für negative Zahlen definiert?

Nicht im Standardsinn. Die Gammafunktion Γ(x) erweitert die Fakultät auf alle reellen (und komplexen) Zahlen, aber unser Rechner behandelt nur nicht-negative ganze Zahlen.

›Was ist die Formel für Kombinationen?

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Gelesen als 'n über k'. Äquivalent: P(n,k) / k!, da die Reihenfolge keine Rolle spielt.

›Wie genau ist das?

Exakt für alle Werte im Bereich. Wir verwenden BigInt-Arithmetik, die keine Gleitkommafeher hat.

›Warum ist 70! so viel größer als 60!?

Jede Fakultät multipliziert mit der nächsten ganzen Zahl. 70! ist ungefähr 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4 × 10¹⁷. Fakultäten wachsen schneller als Exponentialfunktionen – sie sind laut Stirlings Näherung ungefähr n^n × e^-n × √(2πn).

›Verlassen die Daten meinen Browser?

Nein. Berechnung läuft lokal; nichts wird an einen Server gesendet.