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Browse free EAs →फैक्टोरियल / क्रमचय / संयोजन कैलकुलेटर
n और k दर्ज करें। n!, P(n,k) (क्रमबद्ध चयन), और C(n,k) (अक्रमबद्ध चयन) प्राप्त करें। संभाव्यता, सांख्यिकी और संयोजन गणित के लिए उपयोगी।
n!
3628800
P(n, k) = n! / (n−k)! (क्रमचय)
720
C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) (संयोजन)
120
संबंधित टूल्स
कैसे काम करता है
फैक्टोरियल
n! (पढ़ें 'n फैक्टोरियल') 1 से n तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। तो 5! = 1×2×3×4×5 = 120। परंपरा के अनुसार, 0! = 1 (खाली गुणनफल)।
फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं। 10! = 3.6M, 20! = 2.4×10¹⁸, 100! में 158 अंक हैं। फ्लोटिंग-पॉइंट 21! पर टूट जाता है (double-precision सीमा के कारण); हम n=5000 तक सटीक मानों के लिए BigInt का उपयोग करते हैं।
क्रमचय बनाम संयोजन
क्रमचय P(n,k) = n! / (n−k)!: n में से k वस्तुएँ क्रमबद्ध तरीके से चुनने के तरीकों की संख्या। P(5,2) = 20: पहले स्थान के लिए 5 में से, दूसरे के लिए शेष 4 में से = 5×4 = 20।
संयोजन C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): अक्रमबद्ध तरीके से चुनने की संख्या। C(5,2) = 10: समान चयन लेकिन {पहला, दूसरा} = {दूसरा, पहला} इसलिए 2! से भाग दें। प्रसिद्ध 'n choose k'।
क्रमचय का उपयोग तब करें जब क्रम महत्वपूर्ण हो (दौड़ का पोडियम, पासवर्ड क्रम)। संयोजन का उपयोग तब करें जब केवल चुना गया समूह महत्वपूर्ण हो (लॉटरी नंबर, समिति चयन)। C(n,k) ≤ P(n,k) हमेशा; k=1 होने पर बराबर।
इनका उपयोग कहाँ होता है
संभाव्यता: पासे, ताश, सिक्का उछाल। P(5 उछालों में 3 चित) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32। संयोजन से अनुकूल परिणाम गिन सकते हैं।
सांख्यिकी: द्विपद वितरण C(n,k) का उपयोग करता है। बिना प्रतिस्थापन के नमूनाकरण संयोजन का उपयोग करता है।
कंप्यूटर विज्ञान: उपसमुच्चय गिनना, जटिलता विश्लेषण (जैसे, k-clique गणना C(n,k) है), ग्राफ एल्गोरिदम।
वास्तविक जीवन: लॉटरी बाधाएँ (भारतीय राज्य लॉटरी में C(50,6) ≈ 1.6 करोड़ संयोजन)। रेस्तराँ मेनू: '8 में से 3 साइड डिश चुनें' = C(8,3) = 56 तरीके।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
›0! = 1 क्यों है?
परंपरा के अनुसार, 'खाली गुणनफल' 1 है (जैसे खाली योग 0 है)। यह C(n,0) = 1 जैसे सूत्रों को भी सुसंगत बनाता है (कुछ भी न चुनने का एक तरीका)।
›यह सबसे बड़ा कौन सा फैक्टोरियल गणना कर सकता है?
n=5000 से 16,326 अंकों की संख्या मिलती है। हम 5000 पर सीमा रखते हैं ताकि बड़े इनपुट पर ब्राउज़र फ्रीज न हो।
›क्रमचय और संयोजन में क्या अंतर है?
क्रमचय में क्रम महत्वपूर्ण है, संयोजन में नहीं। {A,B} और {B,A} एक ही संयोजन हैं लेकिन दो अलग क्रमचय: AB और BA।
›क्या ऋणात्मक संख्याओं के लिए फैक्टोरियल परिभाषित हैं?
मानक अर्थ में नहीं। गामा फ़ंक्शन Γ(x) फैक्टोरियल को सभी वास्तविक संख्याओं (और जटिल) तक विस्तारित करता है, लेकिन हमारा कैलकुलेटर केवल अऋणात्मक पूर्णांक संभालता है।
›संयोजन का सूत्र क्या है?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)। इसे 'n choose k' पढ़ें। समतुल्य: P(n,k) / k! क्योंकि क्रम महत्वपूर्ण नहीं।
›यह कितना सटीक है?
श्रेणी के भीतर सभी मानों के लिए सटीक। हम BigInt अंकगणित का उपयोग करते हैं, जिसमें कोई फ्लोटिंग-पॉइंट त्रुटि नहीं है।
›70! 60! से इतना बड़ा क्यों है?
हर फैक्टोरियल अगले पूर्णांक से गुणा होता है। 70! लगभग 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷ है। फैक्टोरियल घातांकीय से तेज़ बढ़ते हैं।
›क्या डेटा मेरे ब्राउज़र से बाहर जाता है?
नहीं। गणना स्थानीय रूप से होती है; कुछ भी सर्वर को नहीं भेजा जाता।
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