NordVPN
広告厳格なノーログポリシーと6000台以上のサーバーで、安全かつ高速なネット接続を提供するVPN。
詳細を見る →行列計算機 — 加算・積・行列式をオンラインで
行列A（二項演算の場合はBも）の値を入力するだけで結果を自動計算します。2×2・3×3行列に対応し、加算・減算・乗算・転置・行列式の5種類の演算をサポートします。
行列サイズ:
演算:
行列A
行列B
上に行列の値を入力すると計算結果が表示されます。
仕組み
行列とは何か：基本概念と重要性
行列（マトリックス）とは、数を行（横）と列（縦）に長方形状に並べた数学的オブジェクトです。m行n列の行列をm×n行列と呼びます。行列は線形代数の基本概念であり、線形代数はデータサイエンス・コンピュータグラフィックス・物理シミュレーション・工学最適化の数学的基盤となっています。
行列の各要素はi行j列目の要素をaᵢⱼと表記します。2×2行列では、a₁₁が左上、a₁₂が右上、a₂₁が左下、a₂₂が右下です。行数と列数が等しい正方行列には、行列式やトレースといった特有の性質が定義されます。
行列は線形変換（ベクトルをベクトルに写す関数のうち加法とスカラー倍を保存するもの）を表します。2×2行列は平面上の回転・スケーリング・反射・せん断の任意の組み合わせを表現できます。2つの行列を掛け合わせることは変換を合成することに対応します。
各演算の詳細説明
加算・減算は同じサイズの行列に対してのみ定義されます。対応する位置の要素同士を足し引きします：(A±B)ᵢⱼ＝aᵢⱼ±bᵢⱼ。加算は交換法則が成り立ちます（A+B＝B+A）が、減算は成り立ちません（A−B≠B−A）。
行列の積は単純な対応要素の積ではありません。積ABのi行j列の要素は、Aのi行目とBのj列目の内積（各要素を掛けて合計）です：(AB)ᵢⱼ＝Σₖ aᵢₖbₖⱼ。行列積は一般的に非可換（AB≠BA）で、これが行列の特徴的な性質のひとつです。
転置行列Aᵀは行と列を入れ替えた行列で、(Aᵀ)ᵢⱼ＝aⱼᵢです。Aの第1行がAᵀの第1列になります。最小二乗回帰の正規方程式（AᵀA）、主成分分析（PCA）、ニューラルネットワークの逆伝播などで広く使われます。行列式はn×n正方行列から計算されるスカラー値で、2×2行列[[a,b],[c,d]]の行列式はad－bcです。行列式が0の行列は正則でなく（逆行列を持たず）、対応する線形変換は空間を低次元に潰してしまいます。
行列計算の実際の応用場面
コンピュータグラフィックスは行列演算に全面依存しています。3Dゲームやアニメーションで行われる回転・平行移動・スケーリング・透視投影は、すべて斉次座標に対する行列積として実装されます。レンダリングパイプラインはモデル行列・ビュー行列・射影行列という3つの4×4行列を掛け合わせ（合成し）、各頂点に適用します。GPUはまさにこの大量の行列積のために最適化されたプロセッサです。
機械学習では、ニューラルネットワークの重みが行列として格納されます。各層の前向き計算は入力ベクトル（またはバッチ行列）と重み行列の積で、そこに非線形活性化関数を適用します。ChatGPTのような大規模言語モデルは1回の推論で数十億回の行列積を実行しています。逆伝播では勾配計算に転置行列が使われます：δL/δW＝xᵀ・δL/δy。
連立一次方程式は行列を使って表現・解法できます。ax+by＝e、cx+dy＝f という連立方程式は行列方程式 [[a,b],[c,d]]・[x,y]ᵀ＝[e,f]ᵀ と書けます。行列式が0でなければ、逆行列を使って一意な解を求めることができます。この関係は数値解析と科学技術計算の中核をなす考え方です。
よくある質問
›なぜ行列の積は交換できないのですか？
行列積は線形変換の合成を表します。回転してからスケーリングすると、スケーリングしてから回転するのと一般的に異なる結果になります。AB＝BAが成り立つのは両方が対角行列の場合や一方が単位行列の場合など特殊なケースに限られます。
›行列式が0になるとどういう意味ですか？
行列式が0の行列を退化行列（特異行列）と呼びます。逆行列が存在せず、幾何学的には変換が空間の次元を下げてしまいます（2次元を直線に、3次元を平面や直線に潰す）。連立方程式では解が存在しないか無数に存在することを意味します。
›逆行列はどうやって計算しますか？
2×2行列[[a,b],[c,d]]の逆行列は(1/det)×[[d,−b],[−c,a]]で求められます（det＝ad−bc≠0の場合）。3×3以上はガウスの消去法やLU分解を使います。
›単位行列とは何ですか？
単位行列Iは主対角成分がすべて1、それ以外が0の正方行列です。数の1に相当し、AI＝IA＝Aが成り立ちます。どんな行列に掛けても変化させません。
›サイズの異なる行列を掛け合わせることはできますか？
Aの列数とBの行数が等しければ掛け合わせられます。m×n行列とn×p行列の積はm×p行列になります。このツールは2×2・3×3の正方行列のみ対応しています。非正方行列の演算には専用ツールをご利用ください。
›トレースとは何ですか？
トレースは対角成分の和（a₁₁+a₂₂+…+aₙₙ）です。固有値の和に等しく、相似変換で不変です。このツールでは表示していませんが、対角成分を手動で足すことで計算できます。
›計算結果は正確ですか？
JavaScriptの64ビット浮動小数点数（IEEE 754倍精度）を使用しています。整数入力の場合は多くの場面で正確な結果が得られますが、大きな数や悪条件の行列では最後の桁に浮動小数点誤差が生じる場合があります。結果は小数10桁で丸めて表示しています。
›転置行列の幾何学的な意味は何ですか？
行列を転置することは、主対角線を軸に鏡映することに相当します。回転行列（直交行列）の場合は転置が逆行列に等しく、θ度の回転の転置は−θ度の回転（元に戻す変換）になります。
おすすめサービス
広告について関連ツール
最終更新: