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詳細を見る →二次方程式の解（ax² + bx + c = 0）
係数a、b、cを入力。解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a を適用。実数解2つ、重解、複素共役解2つ、退化ケースを区別。
1x² + -3x + 2= 0
実数解2つ
x₁ = 2
x₂ = 1
- 判別式（b² − 4ac）
- 1
- 放物線の頂点
- (1.5, -0.25)
仕組み
解の公式
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の解は x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。平方根の中身が「判別式」（D = b² − 4ac）で、その符号が解の種類を決めます。
D > 0: 異なる実数解2つ。放物線がx軸を2点で横切る。
D = 0: 重解（実数）。放物線が頂点でx軸に接する。
D < 0: 複素共役解2つ。放物線はx軸に触れない。
頂点と放物線の形
二次関数はすべて放物線として描かれる。頂点（変曲点）はx = −b / 2aにあり、戻し代入してy座標を得る。本ツールではy = −D / 4aで計算（同等）。
a > 0なら放物線は上に開き頂点が最小値。a < 0なら下に開き頂点が最大値。対称軸は頂点を通る垂直線。
退化ケース
a = 0の場合、方程式は実は二次でない — 一次方程式bx + c = 0になり、解はx = −c/b（b ≠ 0なら）。本ツールはこれを検出して一次として解きます。
a = 0 AND b = 0の場合: 解が存在するためにはc = 0でなければならない。c = 0ならすべてのxが解、c ≠ 0なら解なし。両ケースを報告。
よくある質問
›判別式が役立つ理由は？
解かずに解の性質を教えてくれます: D > 0 は実数解2つ、D = 0 は重解、D < 0 は複素解。多くの場合これだけ知れば十分。
›「重解」とは？
D = 0のとき公式はx = −b/2aのみを与えます。代数的には方程式が a(x − r)² = 0 と因数分解でき、rが「重複度2」の解として2回現れます。
›複素数解は実世界で役立つ？
役立ちます。交流回路、信号処理、量子力学、空気力学すべてで複素数を使用。物理的な答えが実数でも、計算の中間に複素数が現れることはよくあります。
›三次以上の方程式も解ける？
本ツールでは無理。三次・四次にも閉じた形の解はありますがより複雑。高次多項式の数値解はNumPyやSage/Mathematicaなどのツールを。
›係数が非常に大きい場合は？
b²と4acがほぼ等しい場合、判別式の浮動小数点精度が劣化。研究レベルの精度には任意精度演算ライブラリを使用してください。
›「頂点」の意味は？
放物線が方向を変える単一の「変曲点」（減少から増加へ、またはその逆）。位置はx = −b/(2a)。最適化問題で最小値・最大値を求めるのに有用。
›なぜ「解（root）」と呼ぶ？
歴史的: 「root」はラテン語のradix（根）の翻訳で、方程式の源/起源を比喩的に表現。多項式が0となる箇所が解。
›データは送信されますか？
送信されません。計算はブラウザ内で完結します。