피타고라스 정리 계산기—임의의 변 구하기

이 계산기는 피타고라스 정리(a² + b² = c²)를 적용하여 직각삼각형의 임의의 변을 구합니다. 두 직각변 a, b를 입력하면 빗변을, 빗변과 한 직각변을 입력하면 나머지 직각변을 구할 수 있습니다. 결과에는 넓이, 둘레, 세 각도(도 단위)가 모두 포함됩니다.

C (90°)
|\
|  \
|    \  c (hypotenuse)
b |      \
|        \
A----------B
     a

한 칸을 비워 두면 계산기가 자동으로 구합니다. 강조 표시된 칸이 계산된 값입니다.

변 a（직각변）변 b（직각변）빗변 c（가장 긴 변）

계산된 변

빗변 c (c) = 5

넓이

둘레

모든 변

a: 3
b: 4
c: 5

모든 각도

각 A: 36.869898°
각 B: 53.130102°
각 C（직각）: 90° ✓

작동 방식

피타고라스 정리란?

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 두 직각변의 제곱의 합과 같다는 것을 나타냅니다: a² + b² = c². 빗변은 항상 90°각의 대변이며, 삼각형에서 가장 긴 변입니다.

빗변을 구할 때는 c = √(a² + b²), 직각변을 구할 때는 a = √(c² − b²) 또는 b = √(c² − a²) 공식을 사용합니다. 이 계산기는 세 가지 방식을 모두 지원하며, 미지의 변 칸을 비워 두기만 하면 자동으로 계산됩니다.

변의 길이가 정해지면 모든 각도도 결정됩니다. 각A = arctan(a/b), 각B = arctan(b/a), 각C는 항상 90°입니다. 넓이는 (a × b) ÷ 2로 구할 수 있습니다.

피타고라스 정리의 실생활 응용

건축과 목공에서는 모서리가 직각인지 확인하기 위해 「3-4-5 규칙」을 자주 사용합니다. 한 변이 3 단위, 다른 변이 4 단위이면 대각선이 정확히 5 단위가 되어야 합니다. 정수 배수(6-8-10, 9-12-15 등)도 마찬가지로 성립합니다. 이 방법은 문자 수학 기록보다 오래되었으며, 고대 이집트와 바빌로니아 기록에서도 확인됩니다.

디스플레이 기술에서도 대각선 크기 계산에 정리가 활용됩니다. 「27인치 모니터」의 27인치는 대각선 길이입니다. 실제 가로와 세로는 직각삼각형의 두 직각변에 해당합니다. 이 계산기에 가로와 세로를 입력하면 모든 디스플레이의 대각선 크기를 확인할 수 있습니다.

내비게이션과 지도에서도 직선 거리를 구하는 데 정리가 사용됩니다. 격자 지도에서 두 점 사이의 최단 거리는 직각삼각형의 빗변을 이루며, 두 직각변은 각각 동서 방향과 남북 방향의 거리에 해당합니다. GPS 수신기는 위치를 추적하기 위해 매초 수백만 번의 유사한 계산을 수행합니다.

정리의 역사

이 정리는 그리스 수학자 피타고라스(기원전 약 570—495년)의 이름을 따서 명명되었지만, 이 관계는 그보다 훨씬 이전부터 알려져 있었습니다. 기원전 약 1800년경의 바빌로니아 점토판에는 피타고라스 수 쌍이 기록되어 있습니다(3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 등). 고대 이집트인들은 12등분 매듭 밧줄을 사용해 건축물의 직각을 잡았다고 전해집니다.

피타고라스 또는 그의 학파가 정수 사례에 그치지 않고 모든 직각삼각형에 성립한다는 최초의 일반적 증명을 제시한 것으로 알려져 있습니다. 오늘날 300가지 이상의 서로 다른 증명이 존재하며, 기하학적·대수적 방법과 1876년 미국 대통령 제임스 가필드의 증명도 포함됩니다.

이 정리는 다양한 방향으로 확장됩니다. 3차원에서 변의 길이가 a, b, c인 직육면체의 공간 대각선은 √(a² + b² + c²)입니다. 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서는 시공간 간격 공식에 변형된 형태로 등장합니다. 또한 좌표 기하학과 데이터 과학 전반에서 사용되는 거리 공식의 기초이기도 합니다.

자주 묻는 질문

›피타고라스 정리의 공식은 무엇인가요?

공식은 a² + b² = c²입니다. a와 b는 두 짧은 변(직각변), c는 빗변(직각의 대변으로 가장 긴 변)입니다. 빗변 구하기: c = √(a² + b²). 직각변 구하기: a = √(c² − b²).

›두 직각변을 알 때 빗변을 구하려면?

변 a와 변 b에 값을 입력하고 빗변 c 칸을 비워 두세요. 계산기가 c = √(a² + b²)를 자동으로 계산합니다.

›빗변과 한 직각변을 알 때 나머지 직각변을 구하려면?

c 칸에 빗변을, a 또는 b 칸에 알고 있는 직각변을 입력하고 미지의 직각변 칸은 비워 두세요. 계산기가 a = √(c² − b²) 또는 b = √(c² − a²)를 사용합니다.

›「빗변이 너무 작습니다」오류가 뜨는 이유는?

빗변은 항상 어느 직각변보다도 길어야 합니다. c = 3, a = 4를 입력하면 c < a가 되어 불가능한 삼각형입니다. 빗변은 직각(90°)의 대변임을 확인하세요.

›피타고라스 수 쌍이란 무엇인가요?

피타고라스 수 쌍은 a² + b² = c²를 만족하는 세 양의 정수의 집합입니다. 가장 유명한 것은 3-4-5(9 + 16 = 25)이고, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 등도 있습니다. 임의 쌍의 정수 배수(6-8-10, 9-12-15 등)도 성립합니다.

›직각삼각형이 아닌 삼각형에도 사용할 수 있나요?

아닙니다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에만 적용됩니다. 90° 각이 없는 삼각형에는 코사인 법칙을 사용하세요. 직각삼각형이란 한 각이 정확히 90°인 삼각형입니다.

›계산 결과의 정확도는 어느 정도인가요?

64비트 부동소수점 연산을 사용하여 약 15~16자리의 유효 숫자 정밀도를 제공합니다. 결과는 소수점 이하 6자리까지 표시됩니다. 실용적인 용도에서는 물리적 측정 정밀도를 훨씬 초과합니다.

›이 도구는 제 데이터를 저장하나요?

아닙니다. 모든 계산은 브라우저 내에서 로컬로 처리됩니다. 입력값은 서버로 전송되거나 어디에도 저장되지 않습니다.