Калькулятор факториала, перестановок и сочетаний

Введите n и k. Получите n!, P(n,k) (упорядоченные выборки) и C(n,k) (неупорядоченные выборки). Полезно для задач по теории вероятностей, статистике и комбинаторике.

nk (для перестановок / сочетаний)

3628800

P(n, k) = n! / (n−k)! (перестановок)

720

C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) (сочетаний)

120

Как это работает

Факториал

n! (читается «n факториал») — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 1×2×3×4×5 = 120. По договорённости, 0! = 1 (пустое произведение).

Факториалы растут чрезвычайно быстро. 10! = 3 628 800, 20! = 2,4×10¹⁸, а 100! содержит 158 цифр. Числа с плавающей точкой теряют точность после 21! (ограничение double precision); для точных значений мы используем BigInt вплоть до n=5000.

Перестановки и сочетания

Перестановки P(n,k) = n! / (n−k)!: число упорядоченных способов выбрать k элементов из n. P(5,2) = 20: первое место — из 5 претендентов, второе — из оставшихся 4, итого 5×4 = 20.

Сочетания C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): число неупорядоченных способов. C(5,2) = 10: те же выборки, но {первый, второй} = {второй, первый}, поэтому делим на 2!. Это знаменитое «n по k».

Используйте перестановки, когда важен порядок (подиум соревнований, порядок паролей). Используйте сочетания, когда важен только состав выборки (лотерейные числа, состав комитета). C(n,k) ≤ P(n,k) всегда; равенство при k=1.

Где это применяется

Теория вероятностей: кубики, карты, подбрасывание монеты. Вероятность 3 орлов из 5 бросков = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Сочетания позволяют подсчитать благоприятные исходы.

Статистика: биномиальное распределение использует C(n,k). Выборка без возвращения использует сочетания.

Информатика: подсчёт подмножеств, анализ сложности (например, перечисление k-клик — это C(n,k)), алгоритмы на графах.

Практика: шансы в лотерее (Русское лото, спортлото: C(90,6) ≈ 622 млн сочетаний). Меню ресторана: «выберите 3 гарнира из 8» — C(8,3) = 56 вариантов.

Частые вопросы

›Почему 0! = 1?

По договорённости «пустое произведение» равно 1 (аналогично тому, как пустая сумма равна 0). Это также позволяет формулам вроде C(n,0) = 1 (один способ не выбрать ничего) работать корректно.

›Какой максимальный факториал можно вычислить?

n=5000 даёт число из 16 326 цифр. Ограничение 5000 предотвращает зависание браузера при очень больших вводах. Для бо́льших значений используйте системы компьютерной алгебры (CAS).

›В чём разница между перестановками и сочетаниями?

В перестановках порядок важен, в сочетаниях — нет. {А,Б} — это одно сочетание, но две разные перестановки: АБ и БА.

›Определён ли факториал для отрицательных чисел?

В стандартном смысле — нет. Гамма-функция Γ(x) расширяет понятие факториала на все действительные (и комплексные) числа, но наш калькулятор работает только с неотрицательными целыми.

›Какова формула сочетаний?

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Читается «n по k». Эквивалентная запись: P(n,k) / k!, поскольку порядок не важен.

›Насколько точны результаты?

Абсолютно точны для всех значений в допустимом диапазоне. Используется арифметика BigInt без ошибок плавающей точки.

›Почему 70! намного больше 60!?

Каждый факториал умножает предыдущий на следующее целое число. 70! примерно равно 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4×10¹⁷. Факториалы растут быстрее экспоненты — приблизительно n^n × e^-n × √(2πn) по формуле Стирлинга.

›Данные покидают браузер?

Нет. Вычисление происходит локально; ничего не отправляется на сервер.