Tạo Dãy Số — Cấp Số Cộng, Nhân, Fibonacci và Nhiều Hơn
Tạo các dãy số ngay lập tức: cấp số cộng, cấp số nhân, Fibonacci, số chính phương, số nguyên tố và số tam giác. Cấu hình các số hạng đầu và độ dài, sau đó sao chép kết quả.
Tổng
100
Công thức số hạng thứ n
a(n) = 1 + (n−1)×2
Cách hoạt động
Các loại dãy số và công thức của chúng
Cấp số cộng cộng thêm một hiệu số không đổi d vào mỗi số hạng: a, a+d, a+2d, .... Số hạng thứ n là a + (n-1)d. Tổng n số hạng đầu là n(2a + (n-1)d)/2. Ví dụ: 3, 7, 11, 15, 19... (số hạng đầu 3, công sai 4). Cấp số cộng mô hình tăng trưởng đều như tiết kiệm với các khoản gửi định kỳ hoặc khoảng cách đi được ở tốc độ không đổi.
Cấp số nhân nhân mỗi số hạng với một tỉ số không đổi r: a, ar, ar², ar³, .... Số hạng thứ n là ar^(n-1). Tổng n số hạng đầu là a(1-r^n)/(1-r) khi r ≠ 1. Ví dụ: 2, 6, 18, 54... (số hạng đầu 2, công bội 3). Cấp số nhân mô hình tăng trưởng hàm mũ — lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ.
Fibonacci, số tam giác và các dãy đặc biệt
Dãy Fibonacci bắt đầu với hai số hạng (thường là 1, 1) và mỗi số hạng tiếp theo là tổng hai số hạng trước: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.... Tỉ số các số hạng liên tiếp hội tụ về tỉ lệ vàng φ ≈ 1,618. Số Fibonacci xuất hiện trong mô hình tăng trưởng thực vật, xoắn ốc vỏ sò và phân tích kỹ thuật tài chính.
Số chính phương là bình phương hoàn hảo: 1, 4, 9, 16, 25.... Số hạng thứ n là n². Số tam giác đếm các vật thể sắp xếp thành tam giác đều: 1, 3, 6, 10, 15.... Số tam giác thứ n là n(n+1)/2. Chúng liên kết với tổ hợp (số tam giác thứ n là C(n+1, 2)) và được dùng để tính tổng chuỗi số học. Số nguyên tố — số nguyên lớn hơn 1 không có ước số nào khác ngoài 1 và chính nó — không có công thức dạng đóng và tăng theo định lý số nguyên tố.
Ứng dụng của các dãy số
Cấp số cộng là nền tảng của nội suy tuyến tính, phân phối điểm và thang lương. Cấp số nhân là nền tảng của tính lãi kép, thang decibel âm thanh và tỉ số tần số âm nhạc (mỗi quãng tám nhân đôi tần số — cấp số nhân với công bội 2). Dãy Fibonacci xuất hiện trong các thuật toán sắp xếp (tìm kiếm Fibonacci), cấu trúc dữ liệu heap và phân tích thuật toán chia-và-trị.
Số chính phương và số tam giác xuất hiện trong tổ hợp và được dùng để tính tổng các dãy. Công thức 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 là số tam giác thứ n, nổi tiếng được Gauss tính khi còn là học sinh, người nhận ra rằng ghép cặp các số hạng từ mỗi đầu của 1-100 cho 50 cặp bằng 101, tổng cộng 5.050. Dãy số nguyên tố có ý nghĩa sâu sắc đối với mật mã học và lý thuyết số — sự phân bố số nguyên tố được mô tả bởi Giả thuyết Riemann, một trong những Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ.
Câu hỏi thường gặp
›Sự khác biệt giữa cấp số cộng và cấp số nhân là gì?
Cấp số cộng có hiệu không đổi giữa các số hạng liên tiếp (ví dụ: 2, 5, 8, 11 — hiệu bằng 3). Cấp số nhân có tỉ số không đổi giữa các số hạng liên tiếp (ví dụ: 2, 6, 18, 54 — tỉ số bằng 3). Cấp số cộng tăng tuyến tính; cấp số nhân tăng theo hàm mũ.
›Công thức số hạng thứ n của dãy Fibonacci là gì?
Công thức dạng đóng (công thức Binet) là F(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5, trong đó φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 (tỉ lệ vàng) và ψ = (1-√5)/2 ≈ -0,618. Trong thực tế, Fibonacci dễ tính hơn bằng phương pháp lặp bằng cách cộng hai số hạng trước, đó là cách máy tính này thực hiện.
›Có vô số số nguyên tố không?
Có. Euclid đã chứng minh điều này khoảng năm 300 TCN bằng phương pháp phản chứng: giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1, p2, ..., pn. Thì p1×p2×...×pn + 1 là số nguyên tố hoặc chia hết cho số nguyên tố không có trong danh sách — mâu thuẫn. Bằng chứng này đã được tái hiện dưới nhiều dạng và kết quả được coi là một trong những điều đẹp nhất trong toán học.
›Tổng n số tự nhiên đầu tiên bằng bao nhiêu?
Tổng 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Đây là số tam giác thứ n. Ví dụ: 1+2+3+4+5 = 15, và 5×6/2 = 15. Công thức này được Gauss nổi tiếng tìm lại khi còn là học sinh, nhận ra rằng ghép cặp các số từ mỗi đầu của 1-100 cho 50 cặp bằng 101, tổng cộng 5.050.
›Điều gì xảy ra nếu công bội của cấp số nhân là số âm?
Dãy số sẽ xen kẽ dấu: ví dụ với a=2 và r=-3, dãy là 2, -6, 18, -54, 162.... Đây vẫn là cấp số nhân hợp lệ. Các số hạng tăng về giá trị tuyệt đối nếu |r| > 1 và giảm nếu |r| < 1. Nếu r = -1, dãy xen kẽ giữa +a và -a.
›Số tam giác được dùng để làm gì?
Số tam giác đếm các vật thể có thể sắp xếp thành tam giác đều: 1 chấm, 3 chấm (tam giác cạnh 2), 6 chấm (cạnh 3), 10 chấm (cạnh 4). Chúng xuất hiện trong tổ hợp: số tam giác thứ n T(n) = C(n+1, 2) — số cách chọn 2 phần tử từ n+1. Chúng cũng bằng tổng n số tự nhiên đầu tiên và xuất hiện trong tam giác Pascal (đường chéo thứ ba).
›Công cụ này có thể tạo dãy số với số hạng thập phân không?
Có. Với cấp số cộng và cấp số nhân, số hạng đầu, công sai hoặc công bội có thể là số thập phân. Ví dụ: cấp số cộng bắt đầu từ 0,5 với công sai 0,25 cho kết quả 0,5, 0,75, 1,0, 1,25.... Tổng được tính với độ chính xác dấu phẩy động đầy đủ.
›Số nguyên tố lớn nhất công cụ này có thể tạo là bao nhiêu?
Công cụ tìm N số nguyên tố đầu tiên bằng phép chia thử. Với N đến 50 số hạng, số nguyên tố thứ 50 là 229, nằm trong phạm vi tính toán. Phương pháp này nhanh với các số nguyên tố nhỏ nhưng sẽ chậm với số nguyên tố rất lớn. Để tạo số nguyên tố lớn, các kiểm tra xác suất như Miller-Rabin được sử dụng.
Công cụ liên quan
Cập nhật lần cuối: