数列生成器——等差、等比、斐波那契等
即时生成各类数列：等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数、素数和三角数。设定起始项和项数，一键复制结果。
总和
100
第n项公式
a(n) = 1 + (n−1)×2
工作原理
各类数列及其公式
等差数列每项加固定公差d：a, a+d, a+2d, …第n项为a+(n−1)d，前n项之和为n(2a+(n−1)d)/2。例：3, 7, 11, 15, 19…（首项3，公差4）。等差数列常用于描述匀速增长，如定期储蓄或匀速运动。
等比数列每项乘以固定公比r：a, ar, ar², ar³, …第n项为ar^(n−1)，前n项之和为a(1−r^n)/(1−r)（r≠1时）。例：2, 6, 18, 54…（首项2，公比3）。等比数列常用于描述指数增长：复利计算、人口增长、放射性衰变。
斐波那契数列、三角数与特殊数列
斐波那契数列以两项开始（通常为1, 1），此后每项等于前两项之和：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…相邻项之比趋向黄金比例φ≈1.618。斐波那契数出现在植物生长规律、贝壳螺旋及金融技术分析中。
完全平方数：1, 4, 9, 16, 25…第n项为n²。三角数描述可排列成等边三角形的点数：1, 3, 6, 10, 15…第n个三角数为n(n+1)/2，与组合数C(n+1,2)相等，也等于前n个自然数之和。素数是大于1、只能被1和自身整除的整数，没有封闭公式，其分布遵循素数定理。
数列的实际应用
等差数列是线性插值、成绩分布和薪资档级的基础。等比数列是复利计算、分贝刻度和音乐频率关系（每升一个八度频率翻倍——公比为2的等比数列）的核心。斐波那契数列出现在斐波那契搜索算法、堆数据结构以及分治算法分析中。
平方数和三角数在组合数学中广泛出现，可用于计算数列之和。公式1+2+3+…+n=n(n+1)/2即第n个三角数，著名地归功于少年高斯的发现。素数分布对密码学和数论有深远影响，其规律由黎曼猜想描述，该猜想是千禧年大奖难题之一。
常见问题
›等差数列和等比数列有什么区别？
等差数列相邻项之差恒定（如2, 5, 8, 11——公差3）；等比数列相邻项之比恒定（如2, 6, 18, 54——公比3）。等差数列线性增长，等比数列指数增长。
›斐波那契数列第n项的公式是什么？
封闭公式（比内公式）：F(n)=(φⁿ−ψⁿ)/√5，其中φ=(1+√5)/2≈1.618（黄金比例），ψ=(1−√5)/2≈−0.618。实际计算时通常用迭代法逐项相加，本计算器也采用此方法。
›素数有无穷多个吗？
是的。欧几里得约在公元前300年用反证法证明了这一点：假设素数有有限个p1,p2,…,pn，则p1×p2×…×pn+1要么是素数，要么能被不在列表中的素数整除——矛盾。这一证明被认为是数学中最优雅的之一。
›前n个自然数之和是多少？
1+2+3+…+n=n(n+1)/2，即第n个三角数。例如1+2+3+4+5=15，而5×6/2=15。这个公式以少年高斯的发现著称——他发现1到100首尾两两配对，共50对，每对之和为101，总和为5050。
›等比数列的公比为负数时会怎样？
数列的符号交替变化：以a=2、r=−3为例，数列为2, −6, 18, −54, 162…这仍是合法的等比数列。当|r|>1时项的绝对值增大，|r|<1时减小；r=−1时数列在+a和−a之间交替。
›三角数有什么用途？
三角数计算可排列成等边三角形的点数：1个点、3个点（边长2）、6个点（边长3）、10个点（边长4）。它在组合数学中出现：第n个三角数T(n)=C(n+1,2)，即从n+1个元素中选2个的方案数。三角数等于前n个自然数之和，并出现在杨辉三角的第三条斜线中。
›此生成器能生成含小数的数列吗？
可以。等差和等比数列的首项及公差/公比均可以是小数。例如首项0.5、公差0.25的等差数列为：0.5, 0.75, 1.0, 1.25…总和以完整浮点精度计算。
›此工具能生成的最大素数是多少？
生成器用试除法求前N个素数。项数最多50时，第50个素数是229，远在可计算范围内。试除法对小素数很快，但对极大素数效率低。生成大素数时通常使用Miller-Rabin等概率性测试。
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