矩陣計算機 — 加法、乘法、行列式

輸入矩陣A（二元運算還需輸入B）的值，即可自動計算結果。支援2×2和3×3矩陣，提供加法、減法、乘法、轉置和行列式五種運算。

矩陣大小:

運算:

矩陣 A

矩陣 B

請在上方輸入矩陣的值以進行計算。

運作原理

矩陣的概念及其重要性

矩陣是將數字按行和列排列成的矩形陣列。一個m×n矩陣有m行n列。矩陣是線性代數的基本物件，而線性代數是資料科學、電腦圖形學、物理模擬和工程最佳化的數學語言。

矩陣中的每個元素由其行號和列號確定，第i行第j列的元素記作aᵢⱼ。在2×2矩陣中，a₁₁是左上角元素，a₁₂是右上角，a₂₁是左下角，a₂₂是右下角。行數等於列數的方陣具有行列式和跡等特有性質，非方陣則沒有這些性質。

矩陣表示線性變換——即在保持加法和純量乘法的前提下將向量映射到向量的函數。2×2矩陣可以表示二維平面中旋轉、縮放、反射和錯切的任意組合。兩個矩陣相乘等於對應變換的合成：若A表示旋轉45°，B表示縮放2倍，則AB先旋轉再縮放。

矩陣運算詳解

加法和減法要求兩個矩陣具有相同的維度。對應位置的元素逐一相加或相減：(A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ。加法滿足交換律（A+B = B+A），但減法不滿足（A−B ≠ B−A）。

矩陣乘法較為複雜，且不滿足交換律——一般情況下AB ≠ BA。對於兩個n×n方陣，積的第i行第j列元素是A的第i行與B的第j列的點積：(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ。2×2矩陣的乘法需要8次乘法和4次加法。

矩陣A的轉置記作Aᵀ，透過交換行和列得到：(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ。A的第一行變為Aᵀ的第一列。轉置在最小平方回歸的正規方程（AᵀA）、主成分分析以及神經網路反向傳播中被廣泛使用。行列式是從方陣得到的純量值，對於2×2矩陣[[a,b],[c,d]]，行列式為ad − bc。行列式為0的矩陣稱為奇異矩陣——它沒有逆矩陣，意味著對應的線性變換會將空間壓縮至更低維度。

矩陣計算的實際應用

電腦圖形學完全依賴矩陣運算。對三維場景施加的每一次旋轉、平移、縮放和透視投影，都以齊次座標上的矩陣乘法形式實現。渲染管線將模型矩陣、視圖矩陣和投影矩陣三個4×4矩陣相乘（合成），然後作用於每個頂點。GPU正是專門為這類大規模矩陣乘法而最佳化的處理器。

在機器學習中，神經網路的權重以矩陣形式儲存。每一層的前向傳播是輸入向量（或批次矩陣）與權重矩陣的乘法，再經過非線性激活函數。像ChatGPT這樣的大型語言模型在每次前向傳播中執行數十億次矩陣乘法。反向傳播中使用轉置矩陣計算梯度：δL/δW = xᵀ · δL/δy。

線性方程組可以用矩陣來表示和求解。方程組 ax + by = e，cx + dy = f 等價於矩陣方程 [[a,b],[c,d]] · [x,y]ᵀ = [e,f]ᵀ。若行列式不為零，唯一解為 x = [x,y]ᵀ = A⁻¹[e,f]ᵀ。行列式、逆矩陣與方程組可解性之間的關係是數值分析和科學計算的核心內容。

常見問題

›為什麼矩陣乘法不滿足交換律？

矩陣乘法表示線性變換的合成。就像先旋轉再縮放與先縮放再旋轉的結果不同，AB和BA一般也不相等。只有在特殊情況下（例如兩個矩陣都是對角矩陣，或其中一個是單位矩陣）才滿足交換律。

›行列式為0意味著什麼？

行列式為0的矩陣稱為奇異矩陣——它沒有逆矩陣。從幾何角度來看，該變換會壓縮至少一個維度（將2D壓縮為直線，或將3D壓縮為平面或直線）。對於線性方程組，行列式為0意味著方程組無解或有無窮多解。

›如何計算矩陣的逆？

對於2×2矩陣[[a,b],[c,d]]，逆矩陣為(1/det) × [[d,−b],[−c,a]]，前提是det = ad−bc ≠ 0。對於更大的矩陣，使用高斯消去法或LU分解。此工具目前可計算行列式和轉置，逆矩陣是自然的擴展方向。

›什麼是單位矩陣？

單位矩陣I的主對角線上全為1，其餘位置全為0。它相當於數字中的1：對任意相容大小的矩陣A，AI = IA = A。與單位矩陣相乘不改變原矩陣。

›可以將不同大小的矩陣相乘嗎？

可以，但前提是A的列數等於B的行數。m×n矩陣乘以n×p矩陣得到m×p矩陣。此工具僅處理2×2和3×3方陣。對於非方陣運算，需要使用更專業的計算機。

›什麼是矩陣的跡？

跡是對角元素之和（a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ），等於特徵值之和，且在相似變換下保持不變（A和P⁻¹AP有相同的跡）。此工具目前不顯示跡，但您可以透過將對角元素相加來手動計算。

›計算結果是精確的嗎？

此工具使用JavaScript標準的64位浮點運算。結果顯示時四捨五入到小數點後10位。對於整數輸入，大多數結果是精確的。對於大型或病態矩陣，浮點捨入可能在最後幾位引入微小誤差。

›「轉置」在幾何上意味著什麼？

轉置矩陣相當於沿主對角線進行反射。若A表示某個線性變換，則Aᵀ表示其伴隨變換。對於旋轉矩陣（正交矩陣），轉置等於逆矩陣——旋轉θ角後再旋轉−θ角即可還原。