Bruchrechner (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren)

Gib zwei Brüche (Zähler über Nenner) und eine Rechenoperation ein. Der Rechner gibt das Ergebnis als gekürzten Bruch, Dezimalzahl und gemischte Zahl zurück. Verwendet BigInt für exakte Ergebnisse beliebiger Größe.

Ergebnis (gekürzt)

Dezimalzahl: 1,25
Gemischte Zahl: 11/4

Wie es funktioniert

Wie Bruchoperationen funktionieren

Addition/Subtraktion: Erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. a/b ± c/d = (ad ± bc) / bd. Beispiel: 1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / (2×3) = 5/6.

Multiplikation: a/b × c/d = (ac) / (bd). Kreuzkürzen vereinfacht vor der Multiplikation. Beispiel: 2/3 × 9/10 = (2×9)/(3×10) = 18/30 = 3/5.

Division: Den zweiten Bruch umkehren und multiplizieren. a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (ad) / (bc). Beispiel: 1/2 ÷ 3/4 = (1×4)/(2×3) = 4/6 = 2/3.

Warum kürzen?

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Wir verwenden den euklidischen Algorithmus, um den GGT zu finden, und teilen beide dadurch.

Beispiel: 18/30 hat den GGT 6, wird also zu 3/5 gekürzt. Mathematisch äquivalent, aber einfacher zu lesen und zu verwenden.

Wir normalisieren auch das Vorzeichen: Ein positiver Zähler ist die Konvention. −3/−5 wird also zu 3/5 vereinfacht; 3/−5 zu −3/5.

Gemischte Zahlen

Wenn der Betrag des Zählers den Nenner übersteigt, kann der Bruch als ganze Zahl plus echtem Bruch ausgedrückt werden. Beispiel: 7/3 = 2⅓ (da 7 = 2×3 + 1).

Gemischte Zahlen sind im Alltag verbreitet (Rezepte, Holzmaße, Taktangaben in der Musik), aber in Mathematik und Naturwissenschaften weniger üblich – dort sind unechte Brüche einfacher zu berechnen. Wir zeigen beide Darstellungen.

Häufige Fragen

›Kann ich negative Brüche eingeben?

Ja. Minus-Zeichen bei Zähler oder Nenner verwenden. Der Rechner normalisiert auf ein einzelnes Minus im Zähler.

›Warum ist 1/2 + 1/3 = 5/6 und nicht 2/5?

Man kann Brüche nicht addieren, indem man Zähler und Nenner separat addiert. Erst einen gemeinsamen Nenner finden: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, also 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

›Werden auch ganze Zahlen als Brüche unterstützt?

Ja. Ganze Zahl = ganze Zahl/1 eingeben. Also 5 + 1/2 = 5/1 + 1/2 = 11/2 = 5½.

›Wie groß darf der Bruch maximal sein?

Wir verwenden intern BigInt, sodass Arithmetik mit Zählern und Nennern beliebiger Größe exakt ist. Die Anzeige ist nur durch den Bildschirmplatz begrenzt.

›Warum ist der Dezimalwert manchmal ungenau?

Manche Brüche haben keine exakte Dezimaldarstellung (1/3 = 0,3333…). Wir zeigen bis zu 8 Nachkommastellen. Der Bruch selbst ist exakt; die Dezimalzahl ist eine Näherung.

›Kann ich durch null dividieren?

Nein. Division durch null (oder ein Bruch mit Null im Nenner als Divisor) ist nicht definiert. Der Rechner gibt in diesem Fall kein Ergebnis zurück.

›Woher kommen gemischte Zahlen?

Aus unechten Brüchen (Zähler ≥ Nenner). 7/3 = 2 + 1/3 = 2⅓. Beide Formen sind gleichwertig; Wahl nach Kontext (Mathematik: unechter Bruch, Rezepte: gemischte Zahl).

›Verlassen die Daten meinen Browser?

Nein. Berechnung läuft lokal; nichts wird an einen Server gesendet.