GGT & kgV Rechner (mit Primfaktorzerlegung)
Eine Liste ganzer Zahlen eingeben. Der Rechner gibt den GGT (euklidischer Algorithmus), das kgV und die vollständige Primfaktorzerlegung jedes Eintrags zurück. Verarbeitet beliebig große ganze Zahlen via BigInt.
Primfaktorzerlegungen
- 12 = 22 × 3
- 18 = 2 × 32
- 24 = 23 × 3
Wie es funktioniert
GGT: der größte gemeinsame Teiler
Der GGT zweier ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die beide ohne Rest teilt. GGT(12, 18) = 6, weil 6 beide teilt und keine größere Zahl das tut. GGT(7, 13) = 1, weil sie keine gemeinsamen Teiler haben (solche Zahlenpaare heißen 'teilerfremd').
Wir verwenden den euklidischen Algorithmus: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b), rekursiv. Er ist seit ~2.300 Jahren bekannt und bleibt die schnellste Standardmethode. Für drei oder mehr Zahlen gilt: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c).
kgV: das kleinste gemeinsame Vielfache
Das kgV ist die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. kgV(4, 6) = 12, weil 12 die erste Zahl ist, die sowohl 4 als auch 6 teilt.
Formel: kgV(a, b) = (a × b) / GGT(a, b). Für 4 und 6: 24 / 2 = 12. Für drei Zahlen: kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c).
Wenn eine Zahl 0 ist, ist das kgV gleich 0 (jede Zahl teilt 0, aber das 'kleinste positive Vielfache' ist undefiniert). Der Rechner gibt in diesem Fall 0 zurück.
Wofür das wichtig ist
Bruchrechnung: Um 1/4 + 1/6 zu addieren, findet man kgV(4, 6) = 12 als gemeinsamen Nenner. 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12, Summe = 5/12.
Ablaufplanung: Wenn Ereignis A alle 4 Tage und Ereignis B alle 6 Tage wiederkehrt, treffen sie sich alle kgV(4, 6) = 12 Tage.
Kryptographie: GGT-basierte Algorithmen (erweiterter euklidischer Algorithmus) bilden die Grundlage für RSA-Schlüsselerzeugung und modulare Inverse.
Musiktheorie: Rhythmen mit den Perioden 3 und 4 synchronisieren sich nach 12 Schlägen (kgV).
Häufige Fragen
›Was, wenn meine Zahlen teilerfremd sind?
GGT = 1 und kgV = Produkt aller Zahlen. Teilerfremd bedeutet, dass keine gemeinsamen Primfaktoren vorhanden sind.
›Kann ich negative Zahlen eingeben?
Ja. Für GGT/kgV-Berechnungen werden Beträge verwendet. −12 und 18 ergeben GGT 6 und kgV 36, genau wie 12 und 18.
›Was passiert, wenn ich 0 eingebe?
GGT(0, n) = |n| (da jede ganze Zahl 0 teilt und n die größte für dieses Paar ist). kgV mit 0 ist per Konvention 0. Mit lauter Nullen sind GGT/kgV undefiniert.
›Wie groß dürfen die Zahlen sein?
Wir verwenden intern BigInt, sodass Arithmetik mit beliebig großen ganzen Zahlen exakt ist. Die praktische Grenze ist deine Tippgeschwindigkeit und der Bildschirmplatz.
›Warum ist die Primfaktorzerlegung nützlich?
GGT = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren (kleinerer Exponent). kgV = Produkt aller vorkommenden Primfaktoren (größerer Exponent). Die Zerlegungen machen diese Zusammenhänge sichtbar.
›Was ist das Verhältnis zwischen GGT und kgV?
Für zwei Zahlen gilt: a × b = GGT(a, b) × kgV(a, b). Sind also drei der vier Größen {a, b, GGT, kgV} bekannt, kann die vierte berechnet werden. Auf drei oder mehr Zahlen verallgemeinert sich das nicht einfach.
›Kann ich das für den GGT von Polynomen verwenden?
Nicht mit diesem Tool – wir verarbeiten nur ganze Zahlen. Für Polynome ein CAS wie SymPy oder Maxima verwenden.
›Verlassen die Daten meinen Browser?
Nein. Berechnung läuft lokal; nichts wird an einen Server gesendet.
Verwandte Tools
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