Wahrscheinlichkeitsrechner — Grundwahrscheinlichkeit, Permutationen

Vier Modi in einem Werkzeug: Grundwahrscheinlichkeit aus günstigen und Gesamtereignissen, Permutationen nPr, Kombinationen nCr und die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Augensumme mit mehreren Würfeln. Ergebnisse als Bruch, Dezimalzahl, Prozentsatz und Odds.

Günstige EreignisseGesamtereignisse

Wahrscheinlichkeit

50%

Bruch: 1/2
Dezimalzahl: 0,5
Odds für: 1:1
Odds gegen: 1:1

Wie es funktioniert

Grundwahrscheinlichkeit, Odds und ihr Unterschied

Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis günstiger Ereignisse zu gleichwahrscheinlichen Gesamtereignissen: P = günstig / gesamt. Der Bereich reicht von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher) und wird oft als Prozentsatz ausgedrückt. Bei einem fairen sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, 1/6 ≈ 16,667 %.

Odds sind eine andere Art, dieselbe Information auszudrücken. Die Odds FÜR ein Ereignis sind günstig : ungünstig, also hat das Würfeln einer 4 Odds von 1:5. Die Odds GEGEN sind umgekehrt: 5:1. Odds sind in Sportwetten und Kartenspielen üblich; Wahrscheinlichkeiten in Statistik und Wissenschaft.

Dieser Rechner kürzt den Bruch automatisch auf die kleinsten Terme und zeigt Dezimalzahl und Prozentwert nebeneinander an, sodass die Darstellungen leicht umgerechnet werden können.

Permutationen vs. Kombinationen

Beide befassen sich mit der Auswahl von r Elementen aus einer Menge von n, aber bei Permutationen spielt die Reihenfolge eine Rolle, bei Kombinationen nicht. Permutationen nPr = n! / (n − r)! zählt geordnete Anordnungen. Kombinationen nCr = n! / (r! × (n − r)!) zählt ungeordnete Teilmengen.

Beispiel: 2 Buchstaben aus {A, B, C} wählen. Permutationen: AB, BA, AC, CA, BC, CB — 6 geordnete Paare, nPr = 3! / 1! = 6. Kombinationen: AB, AC, BC — 3 ungeordnete Teilmengen, nCr = 3! / (2! × 1!) = 3. Da jede Kombination r! Permutationen ergibt, gilt stets nPr = nCr × r!.

Das maximale unterstützte n beträgt 170. Darüber überschreitet n! den Gleitkommabereich von JavaScript (ca. 1,8 × 10³⁰⁸). Bei sehr großen n oder r sind logarithmische Berechnungen oder symbolische Bibliotheken zu empfehlen.

Würfelwahrscheinlichkeit und der Multiplikationssatz

Beim Werfen mehrerer gleicher Würfel ist jeder Würfel unabhängig. Die Gesamtzahl der Ergebnisse ist SeitenAnzahlWürfel. Die Anzahl der Möglichkeiten, eine bestimmte Summe zu erreichen, wird durch Zählen der Kompositionen ermittelt: Die Summe wird so auf alle Würfel verteilt, dass jeder Würfel einen Wert zwischen 1 und der Seitenzahl zeigt.

Dieser Rechner verwendet dynamische Programmierung, um die genaue Anzahl von Kompositionen für die angegebene Zielsumme zu bestimmen. Beispiel: 2d6 (zwei sechsseitige Würfel) mit Summe 7 — es gibt 6 Möglichkeiten (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) von insgesamt 36, was eine Wahrscheinlichkeit von 6/36 = 1/6 ≈ 16,667 % ergibt.

Unterstützte Würfeltypen: d4, d6, d8, d10, d12 und d20 (Standard-Tabletop-RPG-Würfel). Die Anzahl der Würfel reicht von 1 bis 6. Die Zielsumme muss zwischen der Würfelanzahl (alle Einsen) und Würfelanzahl × Seitenanzahl (alle Maxima) liegen.

Häufige Fragen

›Was ist der Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen?

Permutationen zählen geordnete Anordnungen (AB ≠ BA); Kombinationen zählen ungeordnete Teilmengen (AB = BA). nPr = n! / (n−r)!; nCr = n! / (r! × (n−r)!). Für r > 1 gilt stets nPr ≥ nCr.

›Warum ist n auf 170 begrenzt?

JavaScript verwendet 64-Bit IEEE 754 Gleitkommazahlen. 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ passt in einen Double; 171! läuft zu Infinity über. Für größere Fakultäten BigInt oder einen logarithmischen Ansatz verwenden.

›Wie unterscheiden sich Odds von Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit P = günstig / gesamt. Odds für = günstig : ungünstig = P : (1−P). Odds gegen = ungünstig : günstig. Eine Wahrscheinlichkeit von 25 % entspricht Odds von 1:3 (für) oder 3:1 (gegen).

›Was ist 0!?

Per Konvention gilt 0! = 1. Damit bleiben die Formeln für nCr und nPr konsistent, wenn r = 0 oder r = n ist.

›Kann ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine bestimmte Summe berechnen?

Mit diesem Werkzeug nicht direkt. Für Mindest-Wahrscheinlichkeiten die genauen Einzelwahrscheinlichkeiten von der Mindestsumme bis zum Maximum (Würfelanzahl × Seitenanzahl) addieren. Der Würfel-Tab liefert die exakte Wahrscheinlichkeit für jede spezifische Summe.

›Was ist nC0 oder nCn?

Beide sind gleich 1. Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen (leere Menge), und genau eine Möglichkeit, alle Elemente auszuwählen.

›Ist dieser Rechner bei großen Fakultäten genau?

Für n bis 170 sind die Ergebnisse im Rahmen der Gleitkommadarstellung genau. Für n nahe 170 können in den letzten Stellen kleine relative Fehler durch Gleitkommarundung bei der Division auftreten.

›Verlassen Daten meinen Browser?

Nein. Alle Berechnungen laufen lokal in JavaScript. Es werden keine Daten an einen Server übertragen.