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Kostenlose EAs ansehen →Pythagoras-Rechner — Jede Seite berechnen
Dieser Rechner wendet den Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) an, um jede fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Katheten a und b eingeben, um die Hypotenuse zu berechnen, oder die Hypotenuse und eine Kathete eingeben, um die andere Kathete zu ermitteln. Die Ergebnisse umfassen Fläche, Umfang und alle drei Winkel in Grad.
C (90°)
|\
| \
| \ c (hypotenuse)
b | \
| \
A----------B
aEin Feld leer lassen — der Rechner ermittelt den fehlenden Wert. Das hervorgehobene Feld zeigt das berechnete Ergebnis.
Berechnete fehlende Seite
Hypotenuse c (c) = 5
Fläche
6
Umfang
12
Alle Seiten
- a
- 3
- b
- 4
- c
- 5
Alle Winkel
- Winkel A
- 36,869898°
- Winkel B
- 53,130102°
- Winkel C (rechter Winkel)
- 90° ✓
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Wie es funktioniert
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist: a² + b² = c². Die Hypotenuse ist stets die dem 90°-Winkel gegenüberliegende Seite und immer die längste Seite des Dreiecks.
Der Satz lässt sich zur Berechnung der Hypotenuse nutzen: c = √(a² + b²). Umgekehrt lässt er sich zur Berechnung einer fehlenden Kathete verwenden: a = √(c² − b²) oder b = √(c² − a²). Alle drei Formen stehen in diesem Rechner zur Verfügung — das unbekannte Feld einfach leer lassen.
Neben den Seitenlängen sind alle Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Seitenverhältnisse eindeutig bestimmt. Winkel A = arctan(a/b), Winkel B = arctan(b/a), und Winkel C beträgt stets genau 90°. Die Fläche ergibt sich einfach aus (a × b) / 2, da die beiden Katheten einen rechten Winkel bilden und als Grundlinie und Höhe dienen.
Anwendungen des Satzes des Pythagoras im Alltag
Im Bauwesen und Tischlerhandwerk ist der Satz unverzichtbar. Um zu prüfen, ob eine Ecke exakt rechtwinklig ist, verwenden Schreiner die „3-4-5-Regel“: Misst eine Kathete 3 Einheiten und die andere 4, muss die Diagonale genau 5 betragen. Vielfache dieser Proportion (6-8-10, 9-12-15 usw.) ergeben ebenfalls einen rechten Winkel. Dieses Verfahren ist älter als die schriftliche Mathematik und taucht in altägyptischen und babylonischen Aufzeichnungen auf.
Die Bildschirmtechnologie nutzt den Satz zur Berechnung der Diagonalgröße. Ein als „27 Zoll“ beworbener Monitor misst 27 Zoll in der Diagonale — die tatsächliche Breite und Höhe sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Breite und Höhe in diesen Rechner eingeben, um die Diagonale eines beliebigen Displays zu überprüfen.
Navigation und Kartografie verwenden den Satz zur Berechnung von Luftlinien-Distanzen. Auf einer Gitterkarte bildet der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten den Ost-West- und Nord-Süd-Abständen entsprechen. GPS-Empfänger führen jede Sekunde Millionen ähnlicher Berechnungen durch, um Positionen zu bestimmen.
Geschichte des Satzes
Obwohl nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras (ca. 570–495 v. Chr.) benannt, war die Beziehung lange vor ihm bekannt. Babylonische Tontafeln aus etwa 1800 v. Chr. enthalten pythagoräische Tripel — ganzzahlige Lösungen wie 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17. Die alten Ägypter verwendeten geknotete Seile, die in 12 gleiche Abschnitte unterteilt waren, um beim Bauen rechte Winkel abzustecken.
Pythagoras oder seinen Anhängern wird der erste allgemeine Beweis zugeschrieben, dass die Beziehung für ALLE rechtwinkligen Dreiecke gilt, nicht nur für die ganzzahligen Fälle. Heute existieren mehr als 300 verschiedene Beweise, darunter geometrische, algebraische und sogar einer von US-Präsident James Garfield aus dem Jahr 1876.
Der Satz lässt sich in viele Richtungen verallgemeinern. In drei Dimensionen ist die Raumdiagonale eines Quaders mit den Seiten a, b, c gleich √(a² + b² + c²). In Einsteins spezieller Relativitätstheorie taucht eine abgewandelte Form in der Formel des Raumzeit-Intervalls auf. Der Satz ist auch die Grundlage der Abstandsformel, die in der analytischen Geometrie und der Datenwissenschaft allgegenwärtig ist.
Häufige Fragen
›Wie lautet die Formel des Satzes des Pythagoras?
Die Formel lautet a² + b² = c², wobei a und b die beiden kürzeren Seiten (Katheten) und c die Hypotenuse — die längste, dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite — sind. Um c zu berechnen: c = √(a² + b²). Um eine fehlende Kathete zu berechnen: a = √(c² − b²).
›Wie berechne ich die Hypotenuse, wenn ich beide Katheten kenne?
Einen Wert in Kathete a und Kathete b eingeben und das Feld Hypotenuse c leer lassen. Der Rechner berechnet automatisch c = √(a² + b²).
›Wie berechne ich eine Kathete, wenn ich die Hypotenuse und die andere Kathete kenne?
Die Hypotenuse in Feld c und die bekannte Kathete in Feld a oder b eingeben. Das unbekannte Katheten-Feld leer lassen. Der Rechner verwendet a = √(c² − b²) oder b = √(c² − a²).
›Warum meldet der Rechner, dass die Hypotenuse zu klein ist?
Die Hypotenuse muss stets länger sein als jede Kathete. Bei der Eingabe c = 3 und a = 4 ist das unmöglich, da c < a. Überprüfen, welcher Wert die Hypotenuse ist — sie liegt stets dem rechten Winkel (90°) gegenüber.
›Was sind pythagoräische Tripel?
Pythagoräische Tripel sind Mengen aus drei positiven ganzen Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen. Das bekannteste ist 3-4-5: 9 + 16 = 25. Weitere Beispiele sind 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Vielfache jedes Tripels funktionieren ebenfalls: 6-8-10, 9-12-15 usw.
›Kann ich diesen Rechner für nicht-rechtwinklige Dreiecke verwenden?
Nein — der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Für Dreiecke ohne 90°-Winkel den Kosinussatz verwenden. Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch genau einen Winkel von 90° gekennzeichnet.
›Wie genau sind die Ergebnisse?
Der Rechner verwendet 64-Bit-Gleitkomma-Arithmetik, die etwa 15–16 signifikante Stellen liefert. Ergebnisse werden mit bis zu 6 Dezimalstellen angezeigt. Für praktische Zwecke übertrifft dies die Genauigkeit physikalischer Messungen bei weitem.
›Speichert dieses Tool meine Daten?
Nein. Alle Berechnungen erfolgen lokal im Browser. Keinerlei Eingabewerte werden an einen Server übertragen oder irgendwo gespeichert.
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