Dreieck-Rechner (Rechtwinkliges Dreieck, SSS, SAS)

Einen Modus wählen, bekannte Werte eingeben und alle Seiten, alle drei Winkel, Fläche und Umfang erhalten. Prüft die Dreiecksungleichung im SSS-Modus.

Kathete aKathete b

Fläche

Umfang

Seiten

a: 3
b: 4
c: 5

Winkel

A: 36,8699°
B: 53,1301°
C: 90°

Wie es funktioniert

Drei Modi für drei Probleme

Rechtwinkliges Dreieck (Katheten a, b): der häufigste Fall. Hypotenuse c = √(a² + b²) nach dem Satz des Pythagoras. Winkel A = arctan(a/b), B = arctan(b/a), C = 90°. Fläche = (a × b) / 2.

Drei Seiten (SSS — Seite-Seite-Seite): wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind. Dreiecksungleichung prüfen (längste Seite < Summe der anderen beiden). Winkel über den Kosinussatz: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Fläche über die Heronsche Formel: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) mit s = (a+b+c)/2.

Zwei Seiten + eingeschlossener Winkel (SAS — Seite-Winkel-Seite): wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind. Dritte Seite über Kosinussatz: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Andere Winkel über den Sinussatz. Fläche = (1/2) × a × b × sin C.

Wann welcher Modus verwendet wird

Rechtwinkliges Dreieck ist der häufigste in der Alltagsgeometrie — eine rechtwinklige Ecke beim Bauen, die Dachneigung berechnen, die Diagonale eines Fernsehers aus Breite und Höhe finden. Der Satz des Pythagoras ist eine der meistverwendeten Formeln im Bauwesen und Design.

SSS taucht in der Vermessung, Navigation und überall dort auf, wo drei Seiten direkt gemessen werden. Nützlich zur Überprüfung der Form eines Dreiecks aus physischer Messung.

SAS ist für Fälle, in denen zwei Seiten unter einem bekannten Winkel zusammentreffen, die dritte Seite aber ungemessen oder schwer erreichbar ist. Häufig in Trigonometrie-Kursen und Aufgabensammlungen.

Praktische Anwendungen

Bauwesen: Dachneigung aus Steigung und Auftritt (rechtwinkliges Dreieck). Die Zimmerermanns-Regel ‚3-4-5': Ein 3-4-5-Dreieck hat einen perfekten rechten Winkel, kein Winkelmesser erforderlich.

Navigation: Triangulation nutzt SSS oder SAS, um die eigene Position aus drei bekannten Landmarks zu bestimmen. Dieselbe Mathematik steckt hinter GPS (mit relativistischen Korrekturen).

Computergrafik: Jedes 3D-Modell wird in Dreiecke zerlegt. Die Dreiecksflächenformel erscheint in Shader-Code zur Berechnung der Oberflächenbeleuchtung.

Astronomie: Parallax-Entfernungsmessungen nutzen SSS-Prinzipien. Der Sonne-Erde-Stern-Winkel gibt die Entfernung des Sterns über einfache Trigonometrie.

Häufige Fragen

›Was ist die Dreiecksungleichung?

Damit drei Längen ein Dreieck bilden, muss die Summe je zweier Seiten die dritte übersteigen. Also ist 3, 4, 5 gültig (3+4=7 > 5); 1, 2, 5 nicht (1+2=3 < 5). Der Rechner prüft das im SSS-Modus.

›Wie genau ist das?

Gleitkommagenauigkeit (~15–17 signifikante Stellen). Bei typischen Eingaben ist der Fehler viel kleiner als der Messfehler in der realen Welt.

›Können Winkel in Radiant angegeben werden?

Noch nicht — wir verwenden durchgehend Grad. Bei Bedarf über Radiant × 180/π umrechnen.

›Was, wenn mein Dreieck einen stumpfen Winkel hat?

Alle Modi verarbeiten stumpfwinklige Dreiecke korrekt. Beim SAS-Modus sicherstellen, dass der eingeschlossene Winkel zwischen 0° und 180° exklusiv liegt.

›Warum funktioniert das nicht für alle ‚zwei Seiten und ein Winkel'-Fälle?

Wir unterstützen SAS (den Winkel ZWISCHEN zwei Seiten). Der mehrdeutige Fall (SSA — Winkel, dann zwei Seiten, wobei eine dem Winkel gegenüberliegt) hat manchmal 0, 1 oder 2 gültige Dreiecke. SSS und SAS sind eindeutig.

›Wie löse ich 3-4-5-Typ-Probleme mit stumpfem Winkel?

3-4-5 ist ein rechtwinkliges Dreieck. Für Stumpfwinkel 4-5-7 im SSS-Modus versuchen — der größte Winkel ist über 90°.

›Wie finde ich eine Seite, wenn ich nur Winkel kenne?

Das ist nicht möglich — Winkel allein bestimmen die Form, aber nicht die Größe. Mindestens eine Seite wird benötigt. Zwei Winkel + eine Seite reichen (dritter Winkel = 180 − Summe der beiden).

›Verlassen die Daten meinen Browser?

Nein. Die Berechnung läuft lokal; nichts wird an einen Server gesendet.