Quadratische Gleichungslöser (ax² + bx + c = 0)
Gib Koeffizienten a, b, c ein. Der Löser wendet die Lösungsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a an. Unterscheidet zwei reelle Wurzeln, eine doppelte Wurzel, zwei konjugiert komplexe Wurzeln oder degenerierte Fälle.
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Parabelscheitel
- (1,5, -0,25)
Wie es funktioniert
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 sind die Lösungen x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Der Ausdruck unter der Wurzel ist die ‚Diskriminante' (D = b² − 4ac), und ihr Vorzeichen bestimmt die Art der Wurzeln.
D > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Punkten.
D = 0: eine doppelte reelle Wurzel. Die Parabel berührt die x-Achse am Scheitel (Tangente).
D < 0: zwei konjugiert komplexe Wurzeln. Die Parabel berührt die x-Achse gar nicht.
Scheitel und Parabelform
Jede quadratische Funktion wird als Parabel dargestellt. Der Scheitel (Wendepunkt) liegt bei x = −b / 2a, und durch Einsetzen erhält man die y-Koordinate. Wir berechnen sie als y = −D / 4a, was äquivalent ist.
Wenn a > 0 öffnet die Parabel nach oben und der Scheitel ist das Minimum. Wenn a < 0, nach unten und der Scheitel ist das Maximum. Die Symmetrieachse verläuft vertikal durch den Scheitel.
Degenerierte Fälle
Wenn a = 0, ist die Gleichung eigentlich nicht quadratisch – sie wird linear: bx + c = 0, mit Lösung x = −c/b (wenn b ≠ 0). Wir erkennen das und lösen als lineare Gleichung.
Wenn a = 0 UND b = 0: c muss 0 sein, damit eine Lösung existiert. Wenn c = 0, ist jedes x eine Lösung; wenn c ≠ 0, existiert keine Lösung. Wir berichten beide Fälle.
Häufige Fragen
›Warum ist die Diskriminante nützlich?
Sie zeigt die Art der Wurzeln ohne Lösung: D > 0 bedeutet zwei reelle Wurzeln, D = 0 eine doppelte, D < 0 komplexe. Oft ist das alles, was man wissen muss.
›Was ist eine ‚doppelte Wurzel'?
Wenn D = 0, gibt die Formel nur x = −b/2a. Algebraisch faktorisiert die Gleichung als a(x − r)² = 0, sodass r zweimal als Wurzel mit ‚Vielfachheit 2' auftritt.
›Sind komplexe Wurzeln in der realen Welt nützlich?
Ja. Wechselstromkreise, Signalverarbeitung, Quantenmechanik und Aerodynamik verwenden alle komplexe Zahlen. Selbst wenn die physikalische Antwort reell ist, sind komplexe Zwischenschritte üblich.
›Kann ich kubische oder höhere Gleichungen hier lösen?
Nicht mit diesem Tool. Kubische und biquadratische Gleichungen haben geschlossene Lösungsformeln, aber sie sind aufwendiger. Für numerische Lösungen von hochgradigen Polynomen NumPy oder ein CAS wie Sage/Mathematica verwenden.
›Was, wenn meine Koeffizienten sehr groß sind?
Gleitkommagenauigkeit verschlechtert sich für D, wenn b² und 4ac nahezu gleich sind. Für forschungsgenaue Ergebnisse eine Bibliothek mit beliebiger Präzisionsarithmetik verwenden.
›Was bedeutet ‚Scheitel' bei einer Parabel?
Der einzelne ‚Umkehrpunkt', an dem die Parabel die Richtung wechselt (von fallend zu steigend oder umgekehrt). Liegt bei x = −b/(2a). Nützlich zum Finden von Minima/Maxima bei Optimierungsaufgaben.
›Warum heißen Lösungen ‚Wurzeln'?
Historisch: ‚Wurzel' übersetzt das lateinische radix, metaphorisch als Ursprung der Gleichung verwendet. Die Wurzeln sind, wo das Polynom null ist.
›Verlassen die Daten meinen Browser?
Nein. Die Berechnung läuft lokal; nichts wird an einen Server gesendet.
Verwandte Tools
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