Quadratic Equation Solver (ax² + bx + c = 0)
Coefficients a, b, c दर्ज करें। Solver quadratic formula x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a apply करता है। दो real roots, एक repeated root, दो complex conjugate roots, या degenerate cases distinguish करता है।
- Discriminant (b² − 4ac)
- 1
- Parabola vertex
- (1.5, -0.25)
कैसे काम करता है
Quadratic formula
a ≠ 0 के साथ ax² + bx + c = 0 के लिए, solutions हैं x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)। Square root के नीचे expression 'discriminant' है (D = b² − 4ac), और इसका sign roots के type को determine करता है।
D > 0: दो distinct real roots। Parabola x-axis को दो points पर cross करता है।
D = 0: एक repeated real root। Parabola vertex पर x-axis को touch करता है (tangent)।
D < 0: दो complex conjugate roots। Parabola x-axis को बिल्कुल touch नहीं करता।
Vertex और parabola shape
हर quadratic एक parabola के रूप में graph होता है। Vertex (turning point) x = −b / 2a पर है, और back substituting y-coordinate देता है। हम इसे y = −D / 4a के रूप में compute करते हैं, जो equivalent है।
यदि a > 0 तो parabola upward open करता है और vertex minimum है। यदि a < 0, downward और vertex maximum है। Symmetry की axis vertex से vertically pass करती है।
Degenerate cases
यदि a = 0, equation actually quadratic नहीं है — यह linear हो जाती है: bx + c = 0, solution x = −c/b (यदि b ≠ 0)। हम इसे detect करते हैं और linear के रूप में solve करते हैं।
यदि a = 0 AND b = 0: कोई भी solution exist करने के लिए c 0 के equal होना चाहिए। यदि c = 0, हर x एक solution है; यदि c ≠ 0, कोई solution नहीं। हम दोनों cases report करते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
›Discriminant useful क्यों है?
यह बिना solve किए roots की nature बताता है: D > 0 का मतलब दो real roots, D = 0 का मतलब एक repeated, D < 0 का मतलब complex। अक्सर बस यही जानना होता है।
›'Repeated root' क्या है?
जब D = 0, formula केवल x = −b/2a देता है। Algebraically, equation a(x − r)² = 0 factor होती है, इसलिए r 'multiplicity 2' के साथ दो बार root के रूप में appear होता है।
›क्या complex roots real-world useful हैं?
हाँ। AC circuits, signal processing, quantum mechanics, और aerodynamics सब complex numbers उपयोग करते हैं। यहाँ तक कि जब physical answer real हो, complex intermediate steps common हैं।
›क्या मैं यहाँ cubic या higher equations solve कर सकता हूँ?
इस tool में नहीं। Cubics और quartics के closed-form solutions हैं लेकिन वे अधिक involved हैं। High-degree polynomials के numerical solutions के लिए NumPy या Sage/Mathematica जैसा CAS उपयोग करें।
›यदि मेरे coefficients बहुत बड़े हों?
जब b² और 4ac nearly equal हों तो D के लिए floating-point precision degrade होती है। Research-grade accuracy के लिए, arbitrary-precision arithmetic वाली library उपयोग करें।
›Parabola के लिए 'vertex' का क्या मतलब है?
Single 'turning point' जहाँ parabola direction बदलता है (decreasing से increasing या vice versa)। x = −b/(2a) पर located। Optimization problems में minima/maxima खोजने के लिए useful।
›Roots को 'roots' क्यों कहते हैं?
Historical: 'root' Latin radix translate करता है, metaphorically equation के source/origin के रूप में उपयोग। Roots वहाँ हैं जहाँ polynomial zero equals करती है।
›क्या data मेरे browser से बाहर जाता है?
नहीं। Calculation locally चलती है; कुछ भी server को नहीं भेजा जाता।
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