Kalkulator Faktorial / Permutasi / Kombinasi
Masukkan n dan k. Mengembalikan n!, P(n,k) (pilihan berurutan), dan C(n,k) (pilihan tidak berurutan). Berguna untuk probabilitas, statistik, dan pekerjaan rumah kombinatorik.
Cara kerjanya
Faktorial
n! (dibaca 'n faktorial') adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n. Jadi 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Secara konvensi, 0! = 1 (hasil kali kosong).
Faktorial tumbuh sangat cepat. 10! = 3,6 juta, 20! = 2,4×10¹⁸, 100! memiliki 158 digit. Floating-point rusak pada 21! (karena batas presisi ganda); kami menggunakan BigInt untuk nilai tepat hingga n=5000.
Permutasi vs kombinasi
Permutasi P(n,k) = n! / (n−k)!: jumlah cara berurutan untuk memilih k item dari n. P(5,2) = 20: pilih tempat pertama dari 5, kedua dari 4 yang tersisa = 5×4 = 20.
Kombinasi C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): jumlah cara tidak berurutan. C(5,2) = 10: pilihan yang sama tetapi {pertama, kedua} = {kedua, pertama} sehingga bagi dengan 2!. 'n pilih k' yang terkenal.
Gunakan permutasi ketika urutan penting (podium lomba, urutan kata sandi). Gunakan kombinasi ketika hanya himpunan yang dipilih yang penting (nomor lotere, pemilihan panitia). C(n,k) ≤ P(n,k) selalu; sama ketika k=1.
Di mana ini muncul
Probabilitas: dadu, kartu, lempar koin. P(3 kepala dalam 5 lemparan) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Kombinasi memungkinkan Anda menghitung hasil yang menguntungkan.
Statistik: distribusi binomial menggunakan C(n,k). Pengambilan sampel tanpa pengembalian menggunakan kombinasi.
Ilmu komputer: menghitung subset, analisis kompleksitas (mis., enumerasi k-clique adalah C(n,k)), algoritma grafik.
Dunia nyata: peluang lotere (Togel: berbagai kombinasi). Kombo menu restoran: 'pilih 3 lauk dari 8' adalah C(8,3) = 56 cara.
Pertanyaan umum
›Mengapa 0! = 1?
Berdasarkan konvensi, 'hasil kali kosong' adalah 1 (sama seperti jumlah kosong adalah 0). Juga membuat rumus seperti C(n,0) = 1 (satu cara untuk memilih tidak ada) bekerja secara konsisten.
›Berapa faktorial terbesar yang bisa dihitung?
n=5000 menghasilkan angka 16.326 digit. Kami membatasi pada 5000 untuk mencegah browser membeku pada input yang sangat besar. Untuk yang lebih besar, gunakan CAS.
›Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?
Urutan penting dalam permutasi, tidak dalam kombinasi. {A,B} adalah kombinasi yang sama dengan {B,A} tetapi dua permutasi berbeda: AB dan BA.
›Apakah faktorial didefinisikan untuk bilangan negatif?
Tidak dalam arti standar. Fungsi gamma Γ(x) memperluas faktorial ke semua bilangan nyata (dan kompleks), tetapi kalkulator kami hanya menangani bilangan bulat non-negatif.
›Apa rumus untuk kombinasi?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Dibaca sebagai 'n pilih k'. Setara: P(n,k) / k! karena urutan tidak penting.
›Seberapa akurat ini?
Tepat untuk semua nilai dalam kisaran. Kami menggunakan aritmetika BigInt, yang tidak memiliki kesalahan floating-point.
›Mengapa 70! jauh lebih besar dari 60!?
Setiap faktorial mengalikan dengan bilangan bulat berikutnya. 70! kira-kira 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4 × 10¹⁷. Faktorial tumbuh lebih cepat dari eksponensial.
›Apakah data meninggalkan browser saya?
Tidak. Perhitungan berjalan secara lokal; tidak ada yang dikirim ke server.
Alat terkait
Terakhir diperbarui: