Kalkulator GCD & LCM (dengan faktorisasi prima)
Masukkan daftar bilangan bulat. Kalkulator mengembalikan GCD (algoritma Euclid), LCM, dan faktorisasi prima lengkap setiap input. Mendukung bilangan bulat ukuran sembarang via BigInt.
Faktorisasi prima
- 12 = 22 ร 3
- 18 = 2 ร 32
- 24 = 23 ร 3
Cara kerjanya
GCD: faktor persekutuan terbesar
GCD dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya tanpa sisa. GCD(12, 18) = 6 karena 6 membagi keduanya dan tidak ada bilangan yang lebih besar. GCD(7, 13) = 1 karena keduanya tidak memiliki faktor persekutuan (pasangan seperti ini disebut 'koprima').
Kita menggunakan algoritma Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), secara rekursif. Telah dikenal selama ~2300 tahun dan tetap menjadi metode standar tercepat. Untuk tiga bilangan atau lebih, gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
LCM: kelipatan persekutuan terkecil
LCM adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari keduanya. LCM(4, 6) = 12 karena 12 adalah bilangan pertama yang habis dibagi 4 dan 6.
Rumus: lcm(a, b) = (a ร b) / gcd(a, b). Untuk 4 dan 6: 24 / 2 = 12. Untuk tiga bilangan: lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c).
Jika ada bilangan 0, LCM adalah 0 (setiap bilangan membagi 0, tetapi 'positif terkecil' tidak terdefinisi). Kalkulator mengembalikan 0 untuk kasus tersebut.
Mengapa ini penting
Pecahan: untuk menambahkan 1/4 + 1/6, cari LCM(4, 6) = 12 sebagai penyebut persekutuan. 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12, jumlah = 5/12.
Penjadwalan: jika acara A berulang setiap 4 hari dan acara B setiap 6 hari, keduanya bertepatan setiap LCM(4, 6) = 12 hari.
Kriptografi: algoritma berbasis GCD (Euclid diperluas) mendasari pembuatan kunci RSA dan perhitungan invers modular.
Teori musik: ritme dengan periode 3 dan 4 sinkron setelah 12 ketukan (LCM).
Pertanyaan umum
โบBagaimana jika bilangan-bilangan saya koprima?
GCD = 1 dan LCM = hasil kali semua bilangan. Koprima berarti tidak ada faktor prima yang sama.
โบBisakah saya memasukkan bilangan negatif?
Ya. Kami menggunakan nilai absolut untuk perhitungan GCD/LCM. -12 dan 18 menghasilkan GCD 6 dan LCM 36, sama seperti 12 dan 18.
โบBagaimana jika saya memasukkan 0?
GCD(0, n) = |n| (karena setiap bilangan bulat membagi 0, dan n adalah yang terbesar untuk pasangan itu). LCM dengan 0 adalah 0 berdasarkan konvensi. Dengan semua nol, GCD/LCM tidak terdefinisi.
โบSeberapa besar bilangan yang bisa saya gunakan?
Kami menggunakan BigInt secara internal, sehingga aritmetika pada bilangan bulat berukuran apapun adalah tepat. Batas praktisnya adalah kecepatan mengetik dan ruang layar Anda.
โบMengapa faktorisasi prima berguna?
GCD = hasil kali prima persekutuan (mengambil eksponen lebih kecil). LCM = hasil kali semua prima yang muncul dalam bilangan apapun (mengambil eksponen lebih besar). Faktorisasi membuat hubungan ini terlihat jelas.
โบApa hubungan antara GCD dan LCM?
Untuk dua bilangan: a ร b = gcd(a, b) ร lcm(a, b). Jadi jika Anda mengetahui tiga dari {a, b, gcd, lcm}, Anda dapat menghitung yang keempat. Tidak berlaku secara umum untuk tiga bilangan atau lebih.
โบBisakah saya menggunakan ini untuk GCD polinomial?
Tidak dalam alat ini โ kami hanya menangani bilangan bulat. Untuk polinomial, Anda perlu menggunakan CAS seperti SymPy atau Maxima.
โบApakah data meninggalkan browser saya?
Tidak. Perhitungan berjalan secara lokal; tidak ada yang dikirim ke server.
Alat terkait
Terakhir diperbarui: