Calcolatore di Fattoriale / Permutazioni / Combinazioni
Inserisci n e k. Restituisce n!, P(n,k) (selezioni ordinate) e C(n,k) (selezioni non ordinate). Utile per probabilità, statistiche e compiti di combinatoria.
Come funziona
Fattoriale
n! (si legge 'n fattoriale') è il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 a n. Quindi 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Per convenzione, 0! = 1 (il prodotto vuoto).
I fattoriali crescono estremamente veloce. 10! = 3,6 milioni, 20! = 2,4×10¹⁸, 100! ha 158 cifre. La virgola mobile si rompe a 21! (a causa del limite della doppia precisione); usiamo BigInt per valori esatti fino a n=5000.
Permutazioni vs combinazioni
Permutazioni P(n,k) = n! / (n−k)!: numero di modi ordinati per scegliere k elementi da n. P(5,2) = 20: scegli il primo posto da 5, il secondo dai restanti 4 = 5×4 = 20.
Combinazioni C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): numero di modi non ordinati. C(5,2) = 10: stesse scelte ma {primo, secondo} = {secondo, primo} quindi dividi per 2!. Il famoso 'n su k'.
Usa le permutazioni quando l'ordine è importante (podio di una gara, ordine della password). Usa le combinazioni quando conta solo l'insieme scelto (numeri del lotto, selezione di un comitato). C(n,k) ≤ P(n,k) sempre; uguale quando k=1.
Dove si presentano
Probabilità: dadi, carte, lanci di moneta. P(3 teste in 5 lanci) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Le combinazioni ti permettono di contare i risultati favorevoli.
Statistica: la distribuzione binomiale usa C(n,k). Il campionamento senza sostituzione usa le combinazioni.
Informatica: conteggio dei sottoinsiemi, analisi della complessità, algoritmi su grafi.
Vita reale: probabilità del lotto (SuperEnalotto: C(90,6) ≈ 623 milioni di combinazioni). Combinazioni di menu al ristorante: 'scegli 3 contorni da 8' è C(8,3) = 56 modi.
Domande frequenti
›Perché 0! = 1?
Per convenzione, il 'prodotto vuoto' è 1 (proprio come la somma vuota è 0). Fa anche funzionare in modo coerente formule come C(n,0) = 1 (un modo per scegliere niente).
›Qual è il fattoriale più grande che può calcolare?
n=5000 dà un numero di 16.326 cifre. Limitiamo a 5000 per evitare che il browser si blocchi su input enormi. Per valori più grandi, usa un CAS.
›Qual è la differenza tra permutazioni e combinazioni?
L'ordine è importante nelle permutazioni, non lo è nelle combinazioni. {A,B} è la stessa combinazione di {B,A} ma due permutazioni diverse: AB e BA.
›I fattoriali sono definiti per i numeri negativi?
Non nel senso standard. La funzione gamma Γ(x) estende il fattoriale a tutti i numeri reali (e complessi), ma il nostro calcolatore gestisce solo gli interi non negativi.
›Qual è la formula per le combinazioni?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Si legge 'n su k'. Equivalentemente: P(n,k) / k! poiché l'ordine non conta.
›Quanto è accurato?
Esatto per tutti i valori nell'intervallo. Usiamo l'aritmetica BigInt, che non ha errore in virgola mobile.
›Perché 70! è molto più grande di 60!?
Ogni fattoriale moltiplica per il prossimo intero. 70! è approssimativamente 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4 × 10¹⁷. I fattoriali crescono più velocemente dell'esponenziale — sono approssimativamente n^n × e^-n × √(2πn) per l'approssimazione di Stirling.
›I dati lasciano il mio browser?
No. Il calcolo viene eseguito localmente; nulla viene inviato a un server.
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