Калькулятор НОД и НОК (с простой факторизацией)

Введите список целых чисел. Калькулятор вернёт НОД (алгоритм Евклида), НОК и полное разложение каждого числа на простые множители. Поддерживает числа произвольного размера через BigInt.

ЧислаРазделитель: запятая, пробел или перенос строки. Не менее 2 чисел.

НОД (наибольший общий делитель)

НОК (наименьшее общее кратное)

Простые факторизации

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3

Как это работает

НОД: наибольший общий делитель

НОД двух целых чисел — это наибольшее целое число, на которое оба делятся без остатка. НОД(12, 18) = 6, так как 6 делит оба числа, а большего общего делителя нет. НОД(7, 13) = 1, так как числа не имеют общих множителей (такие пары называют «взаимно простыми»).

Используется алгоритм Евклида: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b), рекурсивно. Он известен около 2300 лет и остаётся стандартным быстрым методом. Для трёх и более чисел: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

НОК: наименьшее общее кратное

НОК — это наименьшее положительное целое число, кратное обоим. НОК(4, 6) = 12, так как 12 — первое число, делящееся и на 4, и на 6.

Формула: lcm(a, b) = (a × b) / gcd(a, b). Для 4 и 6: 24 / 2 = 12. Для трёх чисел: lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c).

Если одно из чисел равно 0, НОК равен 0 (каждое число делит 0, но «наименьшее положительное» не определено). В этом случае калькулятор возвращает 0.

Для чего это нужно

Дроби: чтобы сложить 1/4 + 1/6, найдём НОК(4, 6) = 12 как общий знаменатель. 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12, сумма = 5/12.

Расписания: если событие A повторяется каждые 4 дня, а событие B — каждые 6 дней, они совпадают каждые НОК(4, 6) = 12 дней.

Криптография: алгоритмы на основе НОД (расширенный алгоритм Евклида) лежат в основе генерации ключей RSA и вычисления обратных элементов по модулю.

Теория музыки: ритмы с периодами 3 и 4 синхронизируются через 12 долей (НОК).

Частые вопросы

›Что если числа взаимно просты?

НОД = 1, а НОК = произведение всех чисел. Взаимно простые числа не имеют общих простых множителей.

›Можно ли вводить отрицательные числа?

Да. Для вычислений НОД и НОК используются модули чисел. -12 и 18 дают НОД 6 и НОК 36 — так же, как 12 и 18.

›Что будет, если ввести 0?

НОД(0, n) = |n| (так как каждое целое число делит 0). НОК с нулём равен 0 по соглашению. Если все числа равны нулю, НОД и НОК не определены.

›Насколько большими могут быть числа?

Внутри используется BigInt, поэтому арифметика над целыми числами любого размера точная. Практический предел — скорость набора и размер экрана.

›Зачем нужна простая факторизация?

НОД = произведение общих простых (берём меньший показатель). НОК = произведение всех простых из любого числа (берём больший показатель). Факторизации делают эти соотношения наглядными.

›Какая связь между НОД и НОК?

Для двух чисел: a × b = gcd(a, b) × lcm(a, b). Зная три из {a, b, gcd, lcm}, можно найти четвёртое. На три и более чисел это не обобщается.

›Можно ли использовать для НОД многочленов?

Нет — этот инструмент работает только с целыми числами. Для многочленов используйте системы компьютерной алгебры, такие как SymPy или Maxima.

›Данные отправляются на сервер?

Нет. Все вычисления выполняются локально в браузере.