Решатель квадратных уравнений (ax² + bx + c = 0)
Введите коэффициенты a, b, c. Решатель применяет формулу дискриминанта x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Определяет два вещественных корня, один повторяющийся корень, два комплексно-сопряжённых корня или вырожденные случаи.
- Дискриминант (b² − 4ac)
- 1
- Вершина параболы
- (1,5, -0,25)
Как это работает
Формула дискриминанта
Для уравнения ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 решения задаются формулой x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Выражение под знаком квадратного корня — «дискриминант» (D = b² − 4ac), и его знак определяет тип корней.
D > 0: два различных вещественных корня. Парабола пересекает ось x в двух точках.
D = 0: один повторяющийся вещественный корень. Парабола касается оси x в вершине.
D < 0: два комплексно-сопряжённых корня. Парабола не пересекает ось x.
Вершина и форма параболы
Каждое квадратное уравнение описывает параболу. Вершина (точка перегиба) находится при x = −b / 2a, а подстановка обратно даёт y-координату. Вычисляем её как y = −D / 4a — что эквивалентно.
При a > 0 парабола направлена ветвями вверх, вершина — минимум. При a < 0 — ветвями вниз, вершина — максимум. Ось симметрии проходит через вершину вертикально.
Вырожденные случаи
Если a = 0, уравнение не является квадратным — оно становится линейным: bx + c = 0, с решением x = −c/b (при b ≠ 0). Это распознаётся и решается как линейное.
Если a = 0 И b = 0: c должно быть равно 0, чтобы решение существовало. Если c = 0, любое x является решением; если c ≠ 0, решений нет. Оба случая фиксируются отдельно.
Частые вопросы
›Зачем нужен дискриминант?
Он показывает характер корней без вычислений: D > 0 — два вещественных корня, D = 0 — один повторяющийся, D < 0 — комплексные. Зачастую это всё, что нужно знать.
›Что такое «повторяющийся корень»?
При D = 0 формула даёт только x = −b/2a. Алгебраически уравнение разложится как a(x − r)² = 0, поэтому r появляется дважды как корень «кратности 2».
›Находят ли комплексные корни применение в реальных задачах?
Да. Цепи переменного тока, обработка сигналов, квантовая механика и аэродинамика — всё это использует комплексные числа. Даже когда физический ответ вещественный, комплексные промежуточные вычисления распространены.
›Можно ли решить здесь кубические или уравнения более высокого порядка?
Этот инструмент не предназначен для этого. У кубических и уравнений четвёртой степени есть формульные решения, но они более громоздки. Для численных решений многочленов высокой степени используйте NumPy или CAS типа Sage/Mathematica.
›Что если коэффициенты очень большие?
Точность вычислений с плавающей запятой снижается для D, когда b² и 4ac близки. Для высокоточных вычислений используйте библиотеку с произвольной точностью.
›Что означает «вершина» параболы?
Единственная «точка перегиба», где парабола меняет направление (от убывания к возрастанию или наоборот). Находится при x = −b/(2a). Полезна для нахождения минимумов/максимумов в задачах оптимизации.
›Почему корни уравнения называются «корнями»?
Исторически: «корень» восходит к латинскому radix, использовавшемуся метафорически как источник/основа уравнения. Корни — это значения, при которых многочлен обращается в ноль.
›Данные отправляются на сервер?
Нет. Вычисления выполняются локально в браузере.
Похожие инструменты
Обновлено: