เครื่องคำนวณ Factorial / Permutations /
ใส่ n และ k คืน n!, P(n,k) (การเลือกแบบมีลำดับ) และ C(n,k) (การเลือกแบบไม่มีลำดับ) มีประโยชน์สำหรับการบ้านความน่าจะเป็น สถิติ และการนับเชิงรวม
วิธีการทำงาน
Factorial
n! (อ่านว่า 'n factorial') คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนั้น 5! = 1×2×3×4×5 = 120 ตามแบบแผน 0! = 1 (ผลคูณว่าง)
Factorial เติบโตอย่างรวดเร็วมาก 10! = 3.6 ล้าน, 20! = 2.4×10¹⁸, 100! มี 158 หลัก Floating-point พังที่ 21! (เนื่องจากขีดจำกัด double-precision) เราใช้ BigInt สำหรับค่าที่แน่นอนสูงสุด n=5000
Permutations เทียบกับ Combinations
Permutations P(n,k) = n! / (n−k)!: จำนวนวิธีเลือก k รายการจาก n แบบมีลำดับ P(5,2) = 20: เลือกอันดับหนึ่งจาก 5 อันดับสองจากที่เหลือ 4 = 5×4 = 20
Combinations C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): จำนวนวิธีแบบไม่มีลำดับ C(5,2) = 10: การเลือกเหมือนกันแต่ {อันดับหนึ่ง, อันดับสอง} = {อันดับสอง, อันดับหนึ่ง} ดังนั้นหารด้วย 2! 'n เลือก k' ที่โด่งดัง
ใช้ permutations เมื่อลำดับสำคัญ (โพเดียมการแข่งขัน ลำดับรหัสผ่าน) ใช้ combinations เมื่อสนใจแค่ชุดที่เลือก (หมายเลขลอตเตอรี่ การเลือกคณะกรรมการ) C(n,k) ≤ P(n,k) เสมอ เท่ากันเมื่อ k=1
การประยุกต์ใช้งาน
ความน่าจะเป็น: ลูกเต๋า ไพ่ โยนเหรียญ P(ได้หัว 3 ครั้งใน 5 ครั้ง) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32 Combinations ให้คุณนับผลลัพธ์ที่ต้องการ
สถิติ: การแจกแจงทวินาม (binomial distribution) ใช้ C(n,k) การสุ่มตัวอย่างโดยไม่ทดแทนใช้ combinations
วิทยาการคอมพิวเตอร์: การนับ subset การวิเคราะห์ความซับซ้อน (เช่น k-clique enumeration คือ C(n,k)) อัลกอริทึม graph
ในชีวิตจริง: อัตราต่อรองลอตเตอรี่ (US Powerball: C(69,5) × 26 ≈ 292 ล้าน combinations) การผสมเมนูอาหาร: 'เลือก 3 เครื่องเคียงจาก 8' คือ C(8,3) = 56 วิธี
คำถามที่พบบ่อย
›ทำไม 0! = 1?
ตามแบบแผน 'ผลคูณว่าง' เท่ากับ 1 (เช่นเดียวกับผลรวมว่างเท่ากับ 0) ทำให้สูตรเช่น C(n,0) = 1 (วิธีเลือกไม่มีอะไรหนึ่งวิธี) ทำงานสม่ำเสมอ
›factorial ที่ใหญ่ที่สุดที่คำนวณได้คืออะไร?
n=5000 ให้ตัวเลข 16,326 หลัก เราจำกัดที่ 5000 เพื่อป้องกันเบราว์เซอร์จากการค้างกับ input ขนาดใหญ่ สำหรับขนาดใหญ่กว่า ใช้ CAS
›ความต่างระหว่าง permutations และ combinations คืออะไร?
ลำดับสำคัญใน permutations ไม่สำคัญใน combinations {A,B} เป็น combination เดียวกับ {B,A} แต่เป็นสอง permutation ต่างกัน: AB และ BA
›factorial ถูกนิยามสำหรับจำนวนลบหรือไม่?
ไม่ในความหมายมาตรฐาน ฟังก์ชัน gamma Γ(x) ขยาย factorial ไปสู่จำนวนจริงทั้งหมด (และซับซ้อน) แต่เครื่องคำนวณของเราจัดการเฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
›สูตร combinations คืออะไร?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) อ่านว่า 'n เลือก k' หรือเทียบเท่า: P(n,k) / k! เนื่องจากลำดับไม่สำคัญ
›แม่นยำแค่ไหน?
แน่นอนสำหรับทุกค่าในช่วง เราใช้ BigInt arithmetic ซึ่งไม่มีข้อผิดพลาด floating-point
›ทำไม 70! ถึงใหญ่กว่า 60! มาก?
Factorial แต่ละตัวคูณด้วยจำนวนเต็มถัดไป 70! ประมาณ 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷ Factorial เติบโตเร็วกว่า exponential — ประมาณ n^n × e^-n × √(2πn) โดยการประมาณ Stirling
›ข้อมูลออกจากเบราว์เซอร์หรือไม่?
ไม่ การคำนวณทำงานในเครื่อง ไม่มีข้อมูลส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์
เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง
อัปเดตล่าสุด: