幾何體計算器 — 體積與表面積

選擇三維幾何體並輸入尺寸，即可立即獲得體積、總表面積及側面積、母線長度或體對角線等特定屬性。所有計算在瀏覽器中執行，精度最高可達小數點後六位。

選擇幾何體

半徑 (r)

體積

523.598776

總表面積

314.159265

底面積: 78.539816

運作原理

常見三維幾何體的體積與表面積公式

每種三維幾何體都有兩個基本度量：體積——其所圍空間的大小——和表面積——所有面的總面積。半徑為r的球體，體積為(4/3)πr³，表面積為4πr²。底面半徑為r、高度為h的圓柱，體積為πr²h，側面積為2πrh，總表面積為2πr² + 2πrh。圓錐的母線s = √(r² + h²)，體積為(1/3)πr²h，總表面積為πr² + πrs。

對於多面體：邊長為s的正方體，體積為s³，表面積為6s²，體對角線為s√3。尺寸為l × w × h的長方體，體積為lwh，表面積為2(lw + lh + wh)，體對角線為√(l² + w² + h²)。底邊為b、三角形高度為h△、稜柱長度為l的三稜柱，體積為(1/2)bh△l，總表面積等於側面矩形面積加上兩個三角形面積之和。

本計算器使用JavaScript的64位元浮點運算（遵循IEEE 754標準）計算所有公式，將顯示值四捨五入至小數點後六位。請確保所有輸入使用相同單位，本計算器與單位無關——毫米、公分、英寸或公尺均可使用。

在包裝、建築和工程中的實際應用

包裝設計師透過計算箱體（長方體）的體積確定容量，透過表面積估算所需紙板或薄膜的用量。一個高30公分、寬20公分、深8公分的麥片盒容積為30 × 20 × 8 = 4800立方公分，需要2(30×20 + 30×8 + 20×8) = 2000平方公分的材料。

土木工程師在設計儲水槽、筒倉和壓力容器時使用球體和圓柱公式。半徑2公尺、高5公尺的圓柱形水槽容積為π × 4 × 5 ≈ 62.83立方公尺，約合62,830公升。表面積決定所需隔熱層或防腐塗層的用量。

在建築領域，圓錐和三稜柱形狀出現在尖塔、老虎窗屋頂和裝飾鰭片中。了解圓錐形尖塔的側面積，可以準確計算所需銅板或石板的用量。底面半徑1.2公尺、高3公尺的圓錐，母線為√(1.44 + 9) ≈ 3.232公尺，側面積為π × 1.2 × 3.232 ≈ 12.18平方公尺。

尺寸縮放對體積和表面積的影響

將幾何體的三個維度同時縮放k倍，體積會變為k³倍，表面積會變為k²倍。這一平方-立方定律具有深刻的實際意義。將正方體的邊長擴大為原來的2倍（k = 2），體積增加到8倍，而表面積只增加到4倍。這就是為什麼大型貨櫃在單位材料的空間利用率上遠高於小型容器。

對於球體，若將半徑加倍，體積從(4/3)πr³增加到(4/3)π(2r)³ = 8 × (4/3)πr³，增加到原來的8倍；表面積從4πr²增加到4π(2r)² = 16πr²，增加到原來的4倍。球體的表面積與體積之比為3/r，半徑加倍後該比值減半——這解釋了為何大型動物相對於體積而言表面積更小，影響散熱和新陳代謝。

當只有一個維度被縮放時，對該分量的影響是線性的。圓柱高度加倍會使體積加倍，但總表面積的增加不足兩倍（因為兩個圓形底面不變）。這種不對稱性在最佳化罐體設計時很重要：對於固定體積，最節省材料的圓柱，其高度等於其直徑。

常見問題

›體積和表面積有什麼區別？

體積衡量幾何體所圍三維空間的大小，以立方單位表示（cm³、m³、in³）。表面積衡量所有外表面的總面積，以平方單位表示（cm²、m²、in²）。可以將體積理解為容器能盛多少水，將表面積理解為塗滿外表面需要多少油漆。

›圓錐的母線與高度有什麼不同？

高度h是從頂點垂直向下到底面圓心的距離。母線s是從頂點沿斜面到底面邊緣的距離。兩者透過畢氏定理聯繫：s = √(r² + h²)，其中r是底面半徑。

›為什麼三稜柱計算假設為等腰三角形？

對於一般三角形截面，需要三條邊的長度才能精確計算周長。本計算器只需輸入底邊和高度，因此假設為等腰三角形——兩條等邊各長√((b/2)² + h²)。對於邊長為b的等邊三角形，高度為b√3/2，輸入該值即可得到正確結果。

›應該使用什麼單位？

任何一致的單位均可——毫米、公分、公尺、英寸或英尺。本計算器與單位無關，若以公分輸入半徑，則體積以立方公分表示，表面積以平方公分表示。請勿在同一次計算中混用不同單位。

›如何用直徑求球體體積？

將直徑除以2得到半徑，然後輸入該值。例如，直徑為10公分的球體，半徑為5公分，體積為(4/3)π × 5³ ≈ 523.599立方公分。

›長方體的體對角線是什麼？

體對角線是長方體內部連接兩個對角頂點的最長直線，長度為√(l² + w² + h²)。對於邊長為s的正方體，可簡化為s√3。有時也稱為主對角線或體內對角線。

›將球體半徑加倍對體積有何影響？

半徑加倍，體積變為原來的2³ = 8倍。由公式V = (4/3)πr³可知：將r替換為2r，得到(4/3)π(2r)³ = 8 × (4/3)πr³。由於表面積取決於r²，因此表面積變為原來的4倍（係數為2² = 4）。

›資料會傳送到伺服器嗎？

不會。所有計算完全在您的瀏覽器中透過JavaScript執行。任何輸入或結果都不會傳輸到任何伺服器。