數列生成器——等差、等比、費波那契等
即時生成各類數列：等差數列、等比數列、費波那契數列、完全平方數、質數和三角數。設定起始項和項數，一鍵複製結果。
總和
100
第n項公式
a(n) = 1 + (n−1)×2
運作原理
各類數列及其公式
等差數列每項加固定公差d：a, a+d, a+2d, …第n項為a+(n−1)d，前n項之和為n(2a+(n−1)d)/2。例：3, 7, 11, 15, 19…（首項3，公差4）。等差數列常用於描述勻速增長，如定期儲蓄或等速運動。
等比數列每項乘以固定公比r：a, ar, ar², ar³, …第n項為ar^(n−1)，前n項之和為a(1−r^n)/(1−r)（r≠1時）。例：2, 6, 18, 54…（首項2，公比3）。等比數列常用於描述指數增長：複利計算、人口增長、放射性衰變。
費波那契數列、三角數與特殊數列
費波那契數列以兩項開始（通常為1, 1），此後每項等於前兩項之和：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…相鄰項之比趨向黃金比例φ≈1.618。費波那契數出現在植物葉序、貝殼螺旋及金融技術分析中。
完全平方數：1, 4, 9, 16, 25…第n項為n²。三角數描述可排列成等邊三角形的點數：1, 3, 6, 10, 15…第n個三角數為n(n+1)/2，等於組合數C(n+1,2)，也等於前n個自然數之和。質數是大於1、只能被1和自身整除的整數，沒有封閉公式，其分佈遵循質數定理。
數列的實際應用
等差數列是線性內插、成績分佈和薪資級距的基礎。等比數列是複利計算、分貝刻度和音樂頻率關係（每升一個八度頻率加倍——公比為2的等比數列）的核心。費波那契數列出現在費波那契搜尋演算法、堆積資料結構以及分治演算法分析中。
平方數和三角數在組合數學中廣泛出現，可用於計算數列之和。公式1+2+3+…+n=n(n+1)/2即第n個三角數，著名地歸功於少年高斯的發現。質數分佈對密碼學和數論有深遠影響，其規律由黎曼猜想描述，該猜想是千禧年大獎難題之一。
常見問題
›等差數列和等比數列有什麼區別？
等差數列相鄰項之差恆定（如2, 5, 8, 11——公差3）；等比數列相鄰項之比恆定（如2, 6, 18, 54——公比3）。等差數列線性增長，等比數列指數增長。
›費波那契數列第n項的公式是什麼？
封閉公式（比內公式）：F(n)=(φⁿ−ψⁿ)/√5，其中φ=(1+√5)/2≈1.618（黃金比例），ψ=(1−√5)/2≈−0.618。實際計算時通常用疊代法逐項相加，本計算器也採用此方法。
›質數有無窮多個嗎？
是的。歐幾里得約在西元前300年用反證法證明了這一點：假設質數有有限個p1,p2,…,pn，則p1×p2×…×pn+1要麼是質數，要麼能被不在列表中的質數整除——矛盾。這一證明被認為是數學中最優雅的之一。
›前n個自然數之和是多少？
1+2+3+…+n=n(n+1)/2，即第n個三角數。例如1+2+3+4+5=15，而5×6/2=15。這個公式以少年高斯的發現著稱——他發現1到100首尾兩兩配對，共50對，每對之和為101，總和為5050。
›等比數列的公比為負數時會怎樣？
數列的符號交替變化：以a=2、r=−3為例，數列為2, −6, 18, −54, 162…這仍是合法的等比數列。當|r|>1時項的絕對值增大，|r|<1時減小；r=−1時數列在+a和−a之間交替。
›三角數有什麼用途？
三角數計算可排列成等邊三角形的點數：1個點、3個點（邊長2）、6個點（邊長3）、10個點（邊長4）。它在組合數學中出現：第n個三角數T(n)=C(n+1,2)，即從n+1個元素中選2個的方案數。三角數等於前n個自然數之和，並出現在巴斯卡三角形的第三條斜線中。
›此生成器能生成含小數的數列嗎？
可以。等差和等比數列的首項及公差/公比均可以是小數。例如首項0.5、公差0.25的等差數列為：0.5, 0.75, 1.0, 1.25…總和以完整浮點精度計算。
›此工具能生成的最大質數是多少？
生成器用試除法求前N個質數。項數最多50時，第50個質數是229，遠在可計算範圍內。試除法對小質數很快，但對極大質數效率低。生成大質數時通常使用Miller-Rabin等概率性測試。
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