حاسبة فيبوناتشي — الحد N والمتتالية
أدخل الموضع N للحصول على عدد فيبوناتشي الدقيق عند ذلك الحد، أو انتقل إلى وضع المتتالية لعرض أول N أعداد في متتالية فيبوناتشي. يستخدم أعداداً صحيحة ذات دقة عشوائية لضمان دقة النتائج دائماً.
أدخل عدداً N أعلاه للحساب.
كيف تعمل
متتالية فيبوناتشي: التعريف والتاريخ
تُعرَّف متتالية فيبوناتشي بقاعدتين بسيطتين: الحدان الأولان هما 0 و1، وكل حد لاحق هو مجموع الحدين السابقين. ينتج عن ذلك المتتالية: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … القاعدة تبدو بسيطة للغاية، غير أن هذه الأعداد تظهر في الرياضيات وعلوم الحاسوب والطبيعة بطرق أثارت إعجاب العلماء على مدى قرون.
سُمّيت المتتالية باسم ليوناردو بيسانو المعروف بـ فيبوناتشي، الذي قدّمها إلى أوروبا الغربية في كتابه عام 1202 «Liber Abaci» كنموذج لنمو تعداد الأرانب. بيد أن المتتالية كانت قد وُصفت قبل ذلك بقرون من قِبَل علماء رياضيات هنود يدرسون العروض السنسكريتي — فيراهانكا وغوبالا وهيماتشاندرا حددوها جميعاً أثناء إحصاء أنماط المقاطع. ومن ثمّ، فهي من أقدم متتاليات الأعداد الصحيحة المعروفة.
تتقارب نسبة الأعداد المتعاقبة في متتالية فيبوناتشي نحو النسبة الذهبية φ ≈ 1.61803…، وهو عدد غير نسبي تربطه صلات عميقة بالهندسة والفن وعلم الجمال. كلما كبر N، اقترب F(N+1)/F(N) أكثر من φ. هذا التقارب يفسر ظهور حلزونات فيبوناتشي في ترتيب بذور عباد الشمس وحلزونات الأقماع الصنوبرية وقواقع النوتيلوس — إذ تنمو هذه الأشكال بطريقة تُقلّل المادة وتُعظّم كفاءة التعبئة.
حساب أعداد فيبوناتشي الكبيرة بدقة
يخزّن النوع القياسي Number في JavaScript قيماً بفاصلة عائمة 64 بت، تستطيع تمثيل الأعداد الصحيحة بدقة حتى 2^53 فحسب (نحو 9 كوادريليون). تنمو أعداد فيبوناتشي بشكل أسي — إذ يتجاوز F(79) الحد 2^53 — لذا تُعطي الحسابات العشرية العادية نتائج خاطئة مع القيم الكبيرة لـ N. تستخدم هذه الأداة النوع BigInt المدمج في JavaScript، الذي يدعم أعداداً صحيحة ذات حجم عشوائي مقيّدة فقط بالذاكرة المتاحة، مما يضمن أن كل نتيجة من F(1) إلى F(100) دقيقة تماماً.
F(100) = 354,224,848,179,261,915,075، وهو عدد مكوّن من 21 رقماً. للمقارنة، يُقدّر عدد الذرات في الكون المرئي بحوالي 10^80، بينما F(382) ≈ 10^79. تنمو أعداد فيبوناتشي تقريباً وفق φ^N/√5، إذ يكون كل حد أكبر من سابقه بنحو 61.8%.
تتوفر صيغ مغلقة لأعداد فيبوناتشي (صيغة بينيه تستخدم قوى النسبة الذهبية)، غير أنها تستلزم حسابات دقيقة عشوائية لتكون صحيحة مع N الكبيرة لأن φ عدد غير نسبي. الطريقة التكرارية التي تستخدمها هذه الأداة — مجرد جمع الحدود المتعاقبة — دقيقة وفعّالة لقيم N تصل إلى بضعة آلاف.
تطبيقات أعداد فيبوناتشي
في علوم الحاسوب، تظهر أعداد فيبوناتشي في تحليل الخوارزميات. أسوأ مدخلات خوارزمية إقليدس (لحساب القاسم المشترك الأكبر) هي أعداد فيبوناتشي المتعاقبة. تأخذ أكوام فيبوناتشي — بنية البيانات المستخدمة في خوارزمية ديكسترا لأقصر المسارات — اسمها من هذه المتتالية بسبب الحدود المتعلقة ببنيتها. كما يُستخدم البحث الفيبوناتشي كاستراتيجية بحث بأسلوب «فرّق تسُد».
في هندسة البرمجيات، تُستخدم أعداد فيبوناتشي على نطاق واسع في التطوير الرشيق كمقياس لنقاط القصص: 1, 2, 3, 5, 8, 13. يعكس التباعد غير الخطي الزيادة في عدم اليقين عند تقدير المهام الأكبر — إذ يُجبر الفارق الملحوظ بين الأعداد المتجاورة المُقدِّرين على الالتزام بجانب محدد من خيار غامض، مما يُقلّل من الدقة الزائفة.
في الطبيعة، كثيراً ما يتبع ترتيب الأوراق والبتلات والبذور على النباتات (ما يُعرف بالفيللوتاكسيس) أعداداً من متتالية فيبوناتشي. عادةً ما يحمل عباد الشمس 55 حلزوناً في اتجاه عقارب الساعة و89 في الاتجاه المعاكس؛ بينما تحمل الخرشوف 8 و13. ينشأ هذا الترتيب من نمط نمو النبات الذي يُضيف أعضاء جديدة بزاوية ≈ 137.5° (الزاوية الذهبية) قياساً بالعضو السابق، وهو ما يرتبط مباشرةً بالنسبة الذهبية φ.
أسئلة شائعة
›ما قيمة F(0) — هل هي 0 أم 1؟
وفق الاتفاقية الحديثة الأشيع (المستخدمة هنا)، F(0)=0 وF(1)=1 وF(2)=1 وF(3)=2 ... تبدأ بعض النصوص الأقدم المتتالية من F(1)=1 وF(2)=1، مما يُزيح جميع الفهارس بمقدار واحد.
›لماذا تقتصر الأداة على N=100؟
F(100) يتألف بالفعل من 21 رقماً. ما وراء 100 تصبح القيم سلاسل طويلة جداً ذات فائدة عملية محدودة في هذا السياق. إن احتجت إلى قيم أبعد من F(100)، يمكن توسيع منطق BigInt التكرارية — الخوارزمية ذاتها.
›هل النتائج دقيقة مع القيم الكبيرة لـ N؟
نعم. تستخدم الأداة JavaScript BigInt الذي يتعامل مع أعداد صحيحة ذات حجم عشوائي دون أخطاء تقريب بالفاصلة العائمة. كل نتيجة من F(1) إلى F(100) دقيقة رياضياً.
›ما النسبة الذهبية وكيف ترتبط بفيبوناتشي؟
النسبة الذهبية φ ≈ 1.61803… هي الجذر الموجب للمعادلة x²=x+1. تتقارب نسبة الأعداد المتعاقبة F(N+1)/F(N) نحو φ مع ازدياد N. F(20)/F(19)=6765/4181≈1.61803، دقيقة بالفعل حتى 5 منازل عشرية.
›هل متتالية فيبوناتشي مطابقة لأعداد لوكاس؟
لا. تستخدم أعداد لوكاس العلاقة التكرارية ذاتها (كل حد مجموع الحدين السابقين) لكنها تبدأ بـ L(0)=2 وL(1)=1، لتعطي: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... وتشترك مع أعداد فيبوناتشي في خصائص كثيرة، وكلتاهما يتقاربان نحو φ.
›أين تظهر أعداد فيبوناتشي في الطبيعة؟
تظهر أعداد فيبوناتشي في عدد حلزونات عباد الشمس (عادةً 55 و89) والأقماع الصنوبرية (عادةً 8 و13) والأناناس. يحدث ذلك لأن النباتات تُضيف أعضاء جديدة بزاوية ≈ 137.5° (الزاوية الذهبية)، المشتقة من φ والتي تُنتج أفضل تعبئة ممكنة.
›ما مدى سرعة نمو أعداد فيبوناتشي؟
تنمو أعداد فيبوناتشي بشكل أسي، تقريباً وفق φ^N/√5. كل حد يساوي تقريباً 1.618 مرة الحد السابق. F(10)=55، F(20)=6,765، F(50)=12,586,269,025، F(100)=354,224,848,179,261,915,075.
›لماذا تُستخدم أعداد فيبوناتشي في نقاط القصص بالتطوير الرشيق؟
تُستخدم مقياس فيبوناتشي (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) لأن الفجوات بين القيم المتجاورة تتزايد، مما يُجبر الفرق على التمييز بين المهام «المتوسطة» و«الكبيرة». يُقلّل هذا التباعد غير الخطي من الدقة الزائفة عند تقدير عمل يتسم بعدم اليقين بطبيعته.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: