حاسبة المضروب / التباديل / التوافيق
أدخل n وk. يعيد n! وP(n,k) (التحديدات المرتبة) وC(n,k) (التحديدات غير المرتبة). مفيد للاحتمالات والإحصاء وواجبات التوافيق.
كيف تعمل
المضروب
n! (تُقرأ 'مضروب n') هي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n. إذن 5! = 1×2×3×4×5 = 120. اصطلاحياً، 0! = 1 (الحاصل الضربي الفارغ).
تنمو المضاريب بسرعة شديدة. 10! = 3.6 مليون، 20! = 2.4×10¹⁸، 100! له 158 رقماً. ينكسر الفاصل العائم عند 21! (بسبب حد الدقة المزدوجة)؛ نستخدم BigInt للقيم الدقيقة حتى n=5000.
التباديل مقابل التوافيق
التباديل P(n,k) = n! / (n−k)!: عدد الطرق المرتبة لاختيار k عنصراً من n. P(5,2) = 20: اختر المركز الأول من 5، ثم الثاني من الـ 4 الباقية = 5×4 = 20.
التوافيق C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): عدد الطرق غير المرتبة. C(5,2) = 10: نفس الاختيارات لكن {الأول، الثاني} = {الثاني، الأول} إذن نقسم على 2!. المشهورة بـ 'n اختر k'.
استخدم التباديل عندما يهم الترتيب (منصة سباق، ترتيب كلمة المرور). استخدم التوافيق عندما تهم المجموعة المختارة فقط (أرقام اليانصيب، اختيار اللجنة). C(n,k) ≤ P(n,k) دائماً؛ يتساويان عند k=1.
أين تظهر هذه
الاحتمالات: النرد، أوراق اللعب، رمي العملة. P(3 وجوه في 5 رميات) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. تتيح لك التوافيق عدّ النتائج الملائمة.
الإحصاء: يستخدم التوزيع ذو الحدين C(n,k). أخذ العينات بدون استبدال يستخدم التوافيق.
علوم الحاسب: عدّ المجموعات الفرعية، تحليل التعقيد (مثلاً تعداد k-clique هو C(n,k))، خوارزميات الرسوميات.
الواقع العملي: احتمالات اليانصيب (Powerball الأمريكي: C(69,5) × 26 ≈ 292 مليون توليفة). توليفات قائمة المطعم: 'اختر 3 أطباق جانبية من 8' هو C(8,3) = 56 طريقة.
أسئلة شائعة
›لماذا 0! = 1؟
اصطلاحاً، 'الحاصل الضربي الفارغ' هو 1 (تماماً كالمجموع الفارغ 0). يجعل هذا صيغاً مثل C(n,0) = 1 (طريقة واحدة لاختيار لا شيء) تعمل باتساق.
›ما أكبر مضروب يمكن لهذه الأداة حسابه؟
n=5000 يعطي رقماً من 16,326 خانة. نحدد بـ 5000 لمنع تجميد المتصفح على المدخلات الضخمة. لأعداد أكبر، استخدم نظام جبر حاسوبي (CAS).
›ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟
يهم الترتيب في التباديل، ولا يهم في التوافيق. {أ،ب} هي نفس التوليفة مثل {ب،أ} لكنهما تبديلان مختلفان: أب وبأ.
›هل تُعرَّف المضاريب للأعداد السالبة؟
ليس بالمعنى المعياري. دالة غاما Γ(x) تمد المضروب لجميع الأعداد الحقيقية (والمركبة)، لكن حاسبتنا تعالج الأعداد الصحيحة غير السالبة فقط.
›ما صيغة التوافيق؟
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). تُقرأ 'n اختر k'. بشكل معادل: P(n,k) / k! لأن الترتيب غير مهم.
›ما دقة هذه الأداة؟
دقيقة لجميع القيم ضمن النطاق. نستخدم حساب BigInt الذي لا يحتوي على خطأ الفاصل العائم.
›لماذا 70! أكبر بكثير من 60!؟
كل مضروب يضرب بالعدد الصحيح التالي. 70! هو تقريباً 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷. تنمو المضاريب أسرع من الأسية — هي تقريباً n^n × e^-n × √(2πn) وفق تقريب ستيرلينج.
›هل تغادر البيانات متصفحي؟
لا. يعمل الحساب محلياً؛ لا يُرسل شيء للخادم.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: