مولّد المتتاليات العددية — حسابية وهندسية وفيبوناتشي والمزيد
أنشئ متتاليات عددية فوراً: متتاليات حسابية وهندسية وفيبوناتشي وأعداد مربعة وأولية ومثلثية. حدّد الحدود الأولية والطول، ثم انسخ النتيجة.
المجموع
100
صيغة الحد رقم n
a(n) = 1 + (n−1)×2
كيف تعمل
أنواع المتتاليات العددية وصيغها
تُضيف المتتالية الحسابية فرقاً ثابتاً d لكل حد: a, a+d, a+2d, … الحد n هو a + (n-1)d. مجموع أول n حدًّا = n(2a + (n-1)d)/2. مثال: 3, 7, 11, 15, 19… (الحد الأول 3، الفرق 4). تُمثّل المتتاليات الحسابية النمو بمعدّل ثابت، كالادخار المنتظم أو المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة.
تضرب المتتالية الهندسية كل حد في نسبة ثابتة r: a, ar, ar², ar³, … الحد n هو ar^(n-1). مجموع أول n حدود = a(1-r^n)/(1-r) إذا كان r ≠ 1. مثال: 2, 6, 18, 54… (الحد الأول 2، النسبة 3). تُمثّل المتتاليات الهندسية النمو الأسي: الفائدة المركبة، نمو السكان، التحلل الإشعاعي.
فيبوناتشي والأعداد المثلثية والمتتاليات الخاصة
تبدأ متتالية فيبوناتشي بحدين (عادةً 1, 1) وكل حد لاحق هو مجموع الحدين السابقين: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… تتقارب نسبة الحدود المتتالية نحو النسبة الذهبية φ ≈ 1.618. تظهر أعداد فيبوناتشي في أنماط نمو النباتات وحلزونات الأصداف والتحليل الفني للأسواق المالية.
الأعداد المربعة هي مربعات كاملة: 1, 4, 9, 16, 25… الحد n هو n². تحسب الأعداد المثلثية الأجسام المرتّبة في مثلثات متساوية الأضلاع: 1, 3, 6, 10, 15… العدد المثلثي n هو n(n+1)/2، ويساوي C(n+1, 2) ويُستخدم في جمع المتتاليات الحسابية. الأعداد الأولية — أعداد طبيعية أكبر من 1 لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها — ليس لها صيغة مغلقة وتنمو وفق نظرية الأعداد الأولية.
تطبيقات المتتاليات العددية
تُشكّل المتتاليات الحسابية أساس الاستيفاء الخطي وتوزيعات الدرجات وسلّم الرواتب. وتُشكّل المتتاليات الهندسية أساس حسابات الفائدة المركبة ومقاييس الديسيبل ونسب الترددات الموسيقية (كل أوكتاف يضاعف التردد — متتالية هندسية بنسبة 2). تظهر متتالية فيبوناتشي في خوارزميات الترتيب (بحث فيبوناتشي) وبنيات الكومة وتحليل خوارزميات الفرق والسيادة.
تظهر الأعداد المربعة والمثلثية في علم التوافيق وتُستخدم لحساب مجاميع المتتاليات. الصيغة 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 هي العدد المثلثي n، وتُنسب شهرةً إلى الطالب الصغير غاوس. ولمتتاليات الأعداد الأولية دلالات عميقة في علم التشفير ونظرية الأعداد — يصف توزيع الأعداد الأولية فرضيةُ ريمان، إحدى مسائل الألفية.
أسئلة شائعة
›ما الفرق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية؟
المتتالية الحسابية لها فرق ثابت بين الحدود المتتالية (مثال: 2, 5, 8, 11 — فرق 3). المتتالية الهندسية لها نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية (مثال: 2, 6, 18, 54 — نسبة 3). تنمو المتتاليات الحسابية خطياً وتنمو الهندسية أسياً.
›ما صيغة الحد n لمتتالية فيبوناتشي؟
الصيغة المغلقة (صيغة بينيه): F(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5، حيث φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 (النسبة الذهبية) و ψ = (1-√5)/2 ≈ -0.618. في التطبيق العملي، من الأيسر حساب فيبوناتشي بالتكرار بجمع الحدين السابقين، وهو ما يفعله هذا الحاسب.
›هل توجد أعداد أولية لا نهاية لها؟
نعم. أثبت إقليدس ذلك حوالي عام 300 ق.م. بالتناقض: نفرض أن الأعداد الأولية محدودة p1, p2, …, pn. عندها يكون p1×p2×…×pn + 1 إما عدداً أولياً أو قابلاً للقسمة على عدد أولي غير موجود في القائمة — تناقض. يُعدّ هذا الإثبات من أجمل البراهين الرياضية.
›ما مجموع أول n من الأعداد الطبيعية؟
المجموع 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2. وهذا هو العدد المثلثي n. فمثلاً 1+2+3+4+5 = 15 و 5×6/2 = 15. تُنسب الصيغة شهرةً إلى الطالب الصغير غاوس الذي لاحظ أن جمع الأعداد من 1 إلى 100 يُشكّل 50 زوجاً كل منها يساوي 101، أي المجموع 5050.
›ماذا يحدث إذا كانت نسبة المتتالية الهندسية سالبة؟
تتناوب الحدود في الإشارة: مثلاً مع a=2 و r=-3، المتتالية هي 2, -6, 18, -54, 162… وهي لا تزال متتالية هندسية صحيحة. تنمو الحدود بالقيمة المطلقة إذا كان |r| > 1 وتتضاءل إذا كان |r| < 1. إذا كانت r = -1، تتناوب المتتالية بين +a و -a.
›ما استخدامات الأعداد المثلثية؟
تحسب الأعداد المثلثية الأجسام التي يمكن ترتيبها في مثلثات متساوية الأضلاع: 1 نقطة، 3 نقاط (مثلث جانبه 2)، 6 نقاط (جانبه 3)، 10 نقاط (جانبه 4). تظهر في علم التوافيق: العدد المثلثي n هو T(n) = C(n+1, 2) — عدد الطرق لاختيار 2 عناصر من n+1. وهي تساوي أيضاً مجموع أول n من الأعداد الطبيعية وتظهر في مثلث باسكال (القطر الثالث).
›هل يمكن لهذا المولّد إنتاج متتاليات بحدود كسرية؟
نعم. في المتتاليات الحسابية والهندسية يمكن أن يكون الحد الأول والفرق أو النسبة أعداداً عشرية. مثلاً متتالية حسابية تبدأ من 0.5 بفرق 0.25 تعطي: 0.5, 0.75, 1.0, 1.25… يُحسب المجموع بدقة كاملة للأرقام العشرية.
›ما أكبر عدد أولي يستطيع هذا الأداء توليده؟
يجد المولّد أول N عدد أولي بالقسمة التجريبية. لعدد حدود يصل إلى 50، العدد الأولي الخمسون هو 229، وهو في النطاق الحسابي بيسر. هذه الطريقة سريعة للأعداد الأولية الصغيرة لكنها ستكون بطيئة للأعداد الأولية الكبيرة جداً. لتوليد أعداد أولية كبيرة تُستخدم اختبارات احتمالية مثل ميلر-رابين.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: