حاسبة الأشكال الهندسية — الحجم والمساحة
اختر شكلاً ثلاثي الأبعاد وأدخل أبعاده، واحصل فوراً على الحجم والمساحة السطحية الكلية وخصائص محددة كالمساحة الجانبية أو المولّد أو القطر الفراغي. تعمل جميع الحسابات في متصفحك بدقة تصل إلى ستة أرقام عشرية.
- مساحة القاعدة
- 78.539816
كيف تعمل
صيغ الحجم والمساحة السطحية للأجسام الهندسية الشائعة
لكل جسم ثلاثي الأبعاد قياسان أساسيان: الحجم وهو مقدار الفراغ الذي يشغله، والمساحة السطحية وهي مجموع مساحات جميع وجوهه. كرة نصف قطرها r لها حجم (4/3)πr³ ومساحة سطحية 4πr². أسطوانة نصف قطر قاعدتها r وارتفاعها h لها حجم πr²h ومساحة جانبية 2πrh ومساحة سطحية كلية 2πr² + 2πrh. يضيف المخروط مولّداً s = √(r² + h²): حجمه (1/3)πr²h ومساحته السطحية الكلية πr² + πrs.
للمجسمات متعددة الوجوه: مكعب طول ضلعه s له حجم s³ ومساحة سطحية 6s² وقطر فراغي s√3. متوازي مستطيلات أبعاده l × w × h له حجم lwh ومساحة سطحية 2(lw + lh + wh) وقطر فراغي √(l² + w² + h²). منشور مثلثي بقطاع متساوي الساقين — القاعدة b وارتفاع المثلث h△ وطول المنشور l — حجمه (1/2)bh△l ومساحته السطحية الكلية هي المساحة الجانبية مضافاً إليها وجهان مثلثيان.
تُحسب هذه الآلة الحاسبة جميع الصيغ باستخدام الحساب العائم 64 بت في JavaScript بالدقة الكاملة لمعيار IEEE 754، وتُقرّب القيم المعروضة إلى ستة أرقام عشرية. استخدم وحدة قياس واحدة لجميع المدخلات؛ الحاسبة مستقلة عن الوحدات — المليمترات والسنتيمترات والبوصات والأمتار تعمل بشكل متطابق.
تطبيقات عملية في التعبئة والتغليف والهندسة المعمارية والهندسة
يحسب مصممو التعبئة والتغليف حجم الصندوق (متوازي المستطيلات) لتحديد كمية المنتج، والمساحة السطحية لتقدير كمية الكرتون أو الغلاف اللازمة. صندوق حبوب الإفطار بارتفاع 30 سم وعرض 20 سم وعمق 8 سم حجمه 30 × 20 × 8 = 4800 سم³ ويحتاج 2(30×20 + 30×8 + 20×8) = 2000 سم² من المواد.
يستخدم المهندسون المدنيون صيغ الكرة والأسطوانة عند تصميم خزانات المياه والصوامع وأوعية الضغط. خزان أسطواني نصف قطره 2 متر وارتفاعه 5 أمتار يتسع لـ π × 4 × 5 ≈ 62,83 م³ أي ما يقارب 62,830 لتراً. تحدد المساحة السطحية كمية العزل أو الطلاء المقاوم للصدأ المطلوبة.
في الهندسة المعمارية، تظهر الأشكال المخروطية والمنشورية المثلثية في المآذن والنوافذ العلوية والزعانف الزخرفية. معرفة المساحة الجانبية لبرج مخروطي تتيح للمقاول تحديد كمية الألواح النحاسية أو الأردوازية المطلوبة بدقة. مخروط نصف قطر قاعدته 1,2 م وارتفاعه 3 م له مولّد √(1,44 + 9) ≈ 3,232 م ومساحة جانبية π × 1,2 × 3,232 ≈ 12,18 م².
كيف يؤثر تغيير الأبعاد على الحجم والمساحة السطحية
تكبير الأبعاد الثلاثة لجسم ما بمعامل k يضرب حجمه في k³ ومساحته السطحية في k². لقانون التربيع والتكعيب هذا تداعيات عملية عميقة. ضاعف ضلع المكعب (k = 2) ليتضاعف حجمه 8 مرات بينما لا تتضاعف مساحته السطحية سوى 4 مرات. لهذا تكون الحاويات الكبيرة أكثر كفاءةً من الصغيرة من حيث الحجم لكل وحدة مادة.
بالنسبة للكرة: مضاعفة نصف القطر يرفع الحجم من (4/3)πr³ إلى (4/3)π(2r)³ = 8 × (4/3)πr³ أي ثمانية أضعاف. المساحة السطحية تتضاعف أربعة أضعاف من 4πr² إلى 4π(2r)² = 16πr². نسبة السطح إلى الحجم، وهي 3/r للكرة، تنخفض إلى النصف — وهذا يفسر لماذا تمتلك الحيوانات الكبيرة مساحة سطحية أقل نسبياً بالنسبة لحجمها مما يؤثر على تبديد الحرارة والأيض.
عند تغيير بُعد واحد فقط، يكون التأثير خطياً على تلك المكوّن. مضاعفة ارتفاع الأسطوانة يضاعف حجمها، لكنه يزيد المساحة السطحية الكلية بأقل من الضعف لأن القاعدتين الدائريتين لا تتغيران. هذا اللاتماثل مهم عند تحسين تصميم العلب: لحجم ثابت، أكثر أسطوانة توفيراً في المواد هي التي يساوي ارتفاعها قطرها.
أسئلة شائعة
›ما الفرق بين الحجم والمساحة السطحية؟
يقيس الحجم الفراغ ثلاثي الأبعاد الذي يشغله الجسم، ويُعبَّر عنه بوحدات مكعبة (سم³، م³، بوصة³). تقيس المساحة السطحية مجموع مساحات جميع الوجوه الخارجية، وتُعبَّر عنها بوحدات مربعة (سم²، م²، بوصة²). تخيّل الحجم مقدار الماء الذي يتسع له الإناء، والمساحة السطحية كمية الطلاء اللازمة لتغطية الخارج.
›ما الفرق بين المولّد وارتفاع المخروط؟
الارتفاع h هو المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة. المولّد s هو المسافة على امتداد السطح المائل من الرأس إلى حافة القاعدة. يربطهما مبرهنة فيثاغورس: s = √(r² + h²)، حيث r هو نصف قطر القاعدة.
›لماذا تفترض حاسبة المنشور المثلثي مثلثاً متساوي الساقين؟
للحصول على المحيط الدقيق لقطاع مثلثي عام تلزم أطوال الأضلاع الثلاثة. تطلب هذه الحاسبة القاعدة والارتفاع فقط، لذا تفترض مثلثاً متساوي الساقين — ضلعان متساويان كل منهما طوله √((b/2)² + h²). للمثلث المتساوي الأضلاع ذي الضلع b، الارتفاع b√3/2، وإدخال هذه القيمة يعطي النتيجة الصحيحة.
›ما الوحدات التي يجب استخدامها؟
تصلح أي وحدة متسقة — مليمتر، سنتيمتر، متر، بوصة أو قدم. الحاسبة مستقلة عن الوحدات؛ إذا أدخلت نصف القطر بالسنتيمترات، سيكون الحجم بالسنتيمترات المكعبة والمساحة السطحية بالسنتيمترات المربعة. لا تخلط بين الوحدات ضمن حساب واحد.
›كيف أحسب حجم كرة إذا كان المعطى هو القطر لا نصف القطر؟
قسّم القطر على 2 للحصول على نصف القطر، ثم أدخل تلك القيمة. مثلاً، كرة قطرها 10 سم نصف قطرها 5 سم، وحجمها (4/3)π × 5³ ≈ 523,599 سم³.
›ما المقصود بالقطر الفراغي لمتوازي المستطيلات؟
القطر الفراغي هو أطول قطعة مستقيمة داخل المجسم تربط رأسين متقابلين عبر الداخل، وطوله √(l² + w² + h²). بالنسبة للمكعب ذي الضلع s يُبسَّط إلى s√3. يُطلق عليه أحياناً القطر الرئيسي أو قطر الجسم.
›كيف يؤثر مضاعفة نصف قطر الكرة على حجمها؟
مضاعفة نصف القطر يضرب الحجم في 2³ = 8. يستنتج ذلك من الصيغة V = (4/3)πr³: استبدل r بـ 2r تحصل على (4/3)π(2r)³ = 8 × (4/3)πr³. المساحة السطحية تتضاعف أربع مرات (معامل 2² = 4) لأنها تعتمد على r².
›هل يتم إرسال البيانات إلى خادم؟
لا. جميع الحسابات تعمل بالكامل في متصفحك باستخدام JavaScript. لا تُرسَل أي مدخلات أو نتائج إلى أي خادم.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: