حاسبة GCD & LCM (مع التحليل إلى عوامل أولية)
أدخل قائمة أعداد صحيحة. تعيد الحاسبة GCD (خوارزمية إقليدس) وLCM والتحليل الأولي الكامل لكل مدخل. تعالج الأعداد الصحيحة الكبيرة عبر BigInt.
التحليلات الأولية
- 12 = 22 × 3
- 18 = 2 × 32
- 24 = 23 × 3
كيف تعمل
GCD: أكبر عامل مشترك
GCD لعددين صحيحين هو أكبر عدد صحيح يقسمهما بدون باقٍ. GCD(12, 18) = 6 لأن 6 يقسم كليهما ولا يوجد عدد أكبر يفعل ذلك. GCD(7, 13) = 1 لأنهما لا يشتركان في عوامل (مثل هذه الأزواج تسمى 'أولية نسبياً').
نستخدم خوارزمية إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)، بشكل تكراري. معروفة منذ ~2300 عام وتبقى أسرع الطرق المعيارية. لثلاثة أعداد أو أكثر: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
LCM: أصغر مضاعف مشترك
LCM هو أصغر عدد صحيح موجب يعتبر مضاعفاً لكليهما. LCM(4, 6) = 12 لأن 12 هو أول عدد يقسمه 4 و6 معاً.
الصيغة: lcm(a, b) = (a × b) / gcd(a, b). لـ 4 و6: 24 / 2 = 12. لثلاثة أعداد: lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c).
إذا كان أي عدد صفراً، فـ LCM = 0 (كل عدد يقسم 0، لكن 'أصغر موجب' غير معرّف). تعيد الحاسبة 0 في هذه الحالة.
لماذا هذا مهم
الكسور: لجمع 1/4 + 1/6، أوجد LCM(4, 6) = 12 كمقام مشترك. 1/4 = 3/12، 1/6 = 2/12، المجموع = 5/12.
الجدولة: إذا تكرر الحدث أ كل 4 أيام والحدث ب كل 6 أيام، يتزامنان كل LCM(4, 6) = 12 يوماً.
التشفير: خوارزميات قائمة على GCD (إقليدس الموسّعة) تدعم توليد مفاتيح RSA وحسابات المعكوس المعياري.
نظرية الموسيقى: الإيقاعات ذات الدورات 3 و4 تتزامن بعد 12 إيقاعاً (LCM).
أسئلة شائعة
›ماذا لو كانت أعدادي أولية نسبياً؟
GCD = 1 وLCM = حاصل ضرب جميع الأعداد. أولية نسبياً تعني عدم وجود عوامل أولية مشتركة.
›هل يمكنني تضمين أعداد سالبة؟
نعم. نعامل القيم المطلقة لحسابات GCD/LCM. -12 و18 يعطيان GCD 6 وLCM 36، مثل 12 و18.
›ماذا لو أدخلت 0؟
GCD(0, n) = |n| (لأن كل عدد صحيح يقسم 0، ون هو الأكبر لذلك الزوج). LCM مع 0 هو 0 اصطلاحاً. مع كل أصفار، GCD/LCM غير معرّف.
›ما حجم أعدادي المسموح به؟
نستخدم BigInt داخلياً، إذن الحساب على أعداد صحيحة بأي حجم دقيق. الحد العملي هو سرعة الكتابة ومساحة الشاشة.
›لماذا التحليل الأولي مفيد؟
GCD = حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة (آخذاً الأس الأصغر). LCM = حاصل ضرب جميع العوامل الأولية في أي عدد (آخذاً الأس الأكبر). التحليلات تجعل هذه العلاقات واضحة.
›ما العلاقة بين GCD وLCM؟
لعددين: a × b = gcd(a, b) × lcm(a, b). إذن إذا عرفت أي ثلاثة من {a، b، gcd، lcm}، يمكنك حساب الرابع. لا تتعمم بنظافة على ثلاثة أعداد أو أكثر.
›هل يمكنني استخدام هذا لـ GCD كثير الحدود؟
لا في هذه الأداة — نعالج الأعداد الصحيحة فقط. للكثيرات الحدود، استخدم CAS مثل SymPy أو Maxima.
›هل تغادر البيانات متصفحي؟
لا. يعمل الحساب محلياً؛ لا يُرسل شيء للخادم.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: