पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर — कोई भी भुजा खोजें
यह कैलकुलेटर पाइथागोरस प्रमेय (a² + b² = c²) का उपयोग करके समकोण त्रिभुज की किसी भी लुप्त भुजा को ज्ञात करता है। कर्ण निकालने के लिए आधार a और लंब b दर्ज करें, या कर्ण और एक भुजा दर्ज करके दूसरी भुजा निकालें। परिणाम में क्षेत्रफल, परिमाप और तीनों कोण (डिग्री में) शामिल हैं।
C (90°)
|\
| \
| \ c (hypotenuse)
b | \
| \
A----------B
aएक खाना खाली छोड़ें — कैलकुलेटर उसे स्वतः हल करेगा। हाइलाइट किया हुआ खाना गणना किया गया मान दर्शाता है।
सभी भुजाएँ
- a
- 3
- b
- 4
- c
- 5
सभी कोण
- कोण A
- 36.869898°
- कोण B
- 53.130102°
- कोण C (समकोण)
- 90° ✓
कैसे काम करता है
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग, अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c²। कर्ण हमेशा 90° के कोण के सामने की भुजा होती है और त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है।
कर्ण निकालने के लिए: c = √(a² + b²)। लुप्त भुजा निकालने के लिए: a = √(c² − b²) या b = √(c² − a²)। इस कैलकुलेटर में तीनों विधियाँ उपलब्ध हैं — बस अज्ञात खाना खाली छोड़ दें।
भुजाओं की लंबाई के अलावा, समकोण त्रिभुज के सभी कोण भुजाओं के अनुपात से पूरी तरह निर्धारित होते हैं। कोण A = arctan(a/b), कोण B = arctan(b/a), और कोण C हमेशा ठीक 90° होता है। क्षेत्रफल = (a × b) / 2 है।
पाइथागोरस प्रमेय के व्यावहारिक उपयोग
निर्माण और बढ़ईगीरी में प्रमेय का निरंतर उपयोग होता है। यह जाँचने के लिए कि कोना बिल्कुल समकोण है या नहीं, 3-4-5 नियम प्रयोग किया जाता है: यदि एक भुजा 3 इकाई और दूसरी 4 इकाई हो, तो विकर्ण ठीक 5 होना चाहिए। इसके गुणज (6-8-10, 9-12-15 आदि) भी समकोण बनाते हैं। यह तकनीक लिखित गणित से पुरानी है और प्राचीन मिस्र व बेबीलोन के अभिलेखों में मिलती है।
स्क्रीन तकनीक में विकर्ण आकार की गणना के लिए प्रमेय का उपयोग होता है। "27 इंच" मॉनीटर की 27 इंच विकर्ण माप है — वास्तविक चौड़ाई और ऊँचाई समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं। किसी भी स्क्रीन का विकर्ण जाँचने के लिए इस कैलकुलेटर में चौड़ाई और ऊँचाई दर्ज करें।
नेविगेशन और मानचित्रण में सीधी-रेखा दूरी निकालने के लिए प्रमेय का उपयोग होता है। ग्रिड मानचित्र पर दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा मार्ग एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है जिसके दोनों अन्य भुजाएँ पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण दूरियाँ हैं। GPS रिसीवर स्थान ट्रैक करने के लिए प्रति सेकंड लाखों ऐसी गणनाएँ करता है।
प्रमेय का इतिहास
यद्यपि इसका नाम यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस (लगभग 570–495 ईसा पूर्व) के नाम पर है, यह संबंध उनसे बहुत पहले से ज्ञात था। लगभग 1800 ईसा पूर्व की बेबीलोनी मिट्टी की पट्टियों पर पाइथागोरियन त्रिक दर्ज हैं — जैसे 3-4-5, 5-12-13 और 8-15-17। भारत में बौधायन श्रौतसूत्र (लगभग 800 ईसा पूर्व) में भी इस संबंध का स्वतंत्र उल्लेख मिलता है, जिसे कभी-कभी "बौधायन प्रमेय" भी कहा जाता है।
पाइथागोरस या उनके अनुयायियों को पहला सामान्य उपपत्ति देने का श्रेय दिया जाता है जो सभी समकोण त्रिभुजों के लिए वैध है, न केवल पूर्णांक वाले मामलों के लिए। आज 300 से अधिक विभिन्न उपपत्तियाँ हैं, जिनमें ज्यामितीय, बीजगणितीय और 1876 में अमेरिकी राष्ट्रपति जेम्स गार्फील्ड की उपपत्ति भी शामिल है।
यह प्रमेय कई दिशाओं में सामान्यीकृत होता है। तीन आयामों में, a, b, c भुजाओं वाले घनाभ का अंतरिक्ष विकर्ण √(a² + b² + c²) होता है। आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता में, एक परिवर्तित रूप स्पेसटाइम अंतराल सूत्र में प्रकट होता है। यह प्रमेय निर्देशांक ज्यामिति और डेटा विज्ञान में उपयोग होने वाले दूरी सूत्र का भी आधार है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
›पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र क्या है?
सूत्र है a² + b² = c², जहाँ a और b छोटी दो भुजाएँ (आधार और लंब) हैं तथा c कर्ण है — समकोण के सामने की सबसे लंबी भुजा। c निकालने के लिए: c = √(a² + b²)। लुप्त भुजा के लिए: a = √(c² − b²)।
›यदि दोनों भुजाएँ ज्ञात हों तो कर्ण कैसे निकालें?
भुजा a और भुजा b में मान दर्ज करें और कर्ण c का खाना खाली छोड़ें। कैलकुलेटर स्वतः c = √(a² + b²) की गणना कर देगा।
›कर्ण और एक भुजा ज्ञात होने पर दूसरी भुजा कैसे निकालें?
c के खाने में कर्ण और a या b के खाने में ज्ञात भुजा दर्ज करें। अज्ञात भुजा का खाना खाली छोड़ें। कैलकुलेटर a = √(c² − b²) या b = √(c² − a²) का उपयोग करेगा।
›कैलकुलेटर क्यों कहता है कि कर्ण बहुत छोटा है?
कर्ण हमेशा किसी भी भुजा से लंबा होना चाहिए। यदि c = 3 और a = 4 दर्ज करें तो c < a के कारण यह असंभव है। जाँचें कि कर्ण कौन सा है — यह हमेशा समकोण (90°) के सामने की भुजा होती है।
›पाइथागोरियन त्रिक क्या होते हैं?
पाइथागोरियन त्रिक तीन धनात्मक पूर्णांकों का ऐसा समुच्चय है जो a² + b² = c² को संतुष्ट करता है। सबसे प्रसिद्ध है 3-4-5: 9 + 16 = 25। अन्य उदाहरण: 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25। किसी भी त्रिक के गुणज भी काम करते हैं: 6-8-10, 9-12-15 आदि।
›क्या इसे गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए उपयोग किया जा सकता है?
नहीं — पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होती है। 90° के कोण के बिना त्रिभुजों के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें। समकोण त्रिभुज में ठीक एक कोण 90° का होता है।
›परिणाम कितने सटीक हैं?
कैलकुलेटर 64-बिट फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करता है, जो लगभग 15–16 सार्थक अंकों की सटीकता देता है। परिणाम अधिकतम 6 दशमलव स्थानों तक दिखाए जाते हैं। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए यह भौतिक मापों की सटीकता से बहुत अधिक है।
›क्या यह टूल मेरा डेटा संग्रहीत करता है?
नहीं। सभी गणनाएँ आपके ब्राउज़र में स्थानीय रूप से होती हैं। कोई भी इनपुट मान किसी सर्वर को नहीं भेजा जाता और न ही कहीं संग्रहीत किया जाता है।
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