Calculadora de Fatorial / Permutações / Combinações
Insira n e k. Retorna n!, P(n,k) (seleções ordenadas) e C(n,k) (seleções não ordenadas). Útil para probabilidade, estatística e exercícios de combinatória.
Como funciona
Fatorial
n! (lê-se 'n fatorial') é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. Assim, 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Por convenção, 0! = 1 (o produto vazio).
Fatoriais crescem extremamente rápido. 10! = 3,6M, 20! = 2,4×10¹⁸, 100! tem 158 dígitos. O ponto flutuante quebra em 21! (por causa do limite de precisão dupla); usamos BigInt para valores exatos até n=5000.
Permutações vs combinações
Permutações P(n,k) = n! / (n−k)!: número de maneiras ordenadas de escolher k itens de n. P(5,2) = 20: escolha o primeiro lugar entre 5, o segundo entre os 4 restantes = 5×4 = 20.
Combinações C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): número de maneiras não ordenadas. C(5,2) = 10: as mesmas escolhas, mas {primeiro, segundo} = {segundo, primeiro}, então divida por 2!. O famoso 'n choose k'.
Use permutações quando a ordem importa (pódio de corrida, ordem de senha). Use combinações quando apenas o conjunto escolhido importa (números de loteria, seleção de comissão). C(n,k) ≤ P(n,k) sempre; iguais quando k=1.
Onde esses conceitos aparecem
Probabilidade: dados, cartas, lançamento de moedas. P(3 caras em 5 lançamentos) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. As combinações permitem contar resultados favoráveis.
Estatística: a distribuição binomial usa C(n,k). A amostragem sem reposição usa combinações.
Ciência da computação: contagem de subconjuntos, análise de complexidade (ex.: enumeração de k-clique é C(n,k)), algoritmos de grafos.
Mundo real: odds de loteria (Mega-Sena: C(60,6) ≈ 50 milhões de combinações para acertar a sena). Combinações de cardápio: 'escolha 3 acompanhamentos de 8' são C(8,3) = 56 maneiras.
Perguntas frequentes
›Por que 0! = 1?
Por convenção, o 'produto vazio' é 1 (assim como a soma vazia é 0). Também faz fórmulas como C(n,0) = 1 (uma maneira de não escolher nada) funcionarem consistentemente.
›Qual é o maior fatorial que pode calcular?
n=5000 dá um número de 16.326 dígitos. Limitamos em 5000 para evitar que o navegador congele em entradas enormes. Para maior, use um CAS.
›Qual é a diferença entre permutações e combinações?
A ordem importa nas permutações, não nas combinações. {A,B} é a mesma combinação que {B,A}, mas duas permutações diferentes: AB e BA.
›Os fatoriais são definidos para números negativos?
Não no sentido padrão. A função gama Γ(x) estende o fatorial a todos os números reais (e complexos), mas nossa calculadora lida apenas com inteiros não negativos.
›Qual é a fórmula para combinações?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Lida como 'n escolha k'. Equivalentemente: P(n,k) / k!, pois a ordem não importa.
›Qual é a precisão?
Exata para todos os valores dentro do intervalo. Usamos aritmética BigInt, que não tem erro de ponto flutuante.
›Por que 70! é tão muito maior que 60!?
Cada fatorial multiplica pelo próximo inteiro. 70! é aproximadamente 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4 × 10¹⁷. Fatoriais crescem mais rápido que exponenciais — são aproximadamente n^n × e^-n × √(2πn) pela aproximação de Stirling.
›Os dados saem do meu navegador?
Não. O cálculo roda localmente; nada é enviado a um servidor.
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