Калькулятор теоремы Пифагора — нахождение любой стороны

Этот калькулятор применяет теорему Пифагора (a² + b² = c²) для нахождения любой стороны прямоугольного треугольника. Введите катеты a и b, чтобы найти гипотенузу, или введите гипотенузу и один катет, чтобы найти второй катет. Результаты включают площадь, периметр и все три угла в градусах.

C (90°)
|\
|  \
|    \  c (hypotenuse)
b |      \
|        \
A----------B
     a

Оставьте одно поле пустым — калькулятор найдёт его значение. Выделенное поле показывает вычисленный результат.

Катет a(катет)Катет b(катет)Гипотенуза c(наибольшая сторона)

Вычисленная сторона

Гипотенуза c (c) = 5

Площадь

Периметр

Все стороны

a: 3
b: 4
c: 5

Все углы

Угол A: 36,869898°
Угол B: 53,130102°
Угол C (прямой): 90° ✓

Как это работает

Что такое теорема Пифагора?

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов: a² + b² = c². Гипотенуза всегда является стороной, противолежащей прямому углу (90°), и всегда является наибольшей стороной треугольника.

Теорема работает в одном направлении для нахождения гипотенузы: c = √(a² + b²). Она также применима в обратном направлении для нахождения недостающего катета: a = √(c² − b²) или b = √(c² − a²). Все три формы доступны в данном калькуляторе — просто оставьте поле с неизвестной пустым.

Помимо длин сторон, все углы прямоугольного треугольника полностью определяются соотношениями его сторон. Угол A = arctan(a/b), угол B = arctan(b/a), а угол C всегда равен точно 90°. Площадь вычисляется по формуле (a × b) / 2, так как два катета образуют прямой угол и служат основанием и высотой.

Практическое применение теоремы Пифагора

В строительстве и столярном деле теорема используется постоянно. Чтобы проверить, является ли угол точно прямым, применяют «египетский треугольник» 3-4-5: если один катет равен 3 единицам, другой — 4, диагональ должна быть ровно 5. Кратные пропорции (6-8-10, 9-12-15 и т. д.) также дают прямой угол. Этот приём старше письменной математики и встречается в древнеегипетских и вавилонских источниках.

Технология экранов и мониторов опирается на теорему при расчёте диагонального размера. Монитор, заявленный как «27 дюймов», имеет диагональ 27 дюймов — реальные ширина и высота являются катетами прямоугольного треугольника. Введите ширину и высоту в этот калькулятор, чтобы проверить диагональ любого экрана.

Навигация и картография используют теорему для нахождения расстояний по прямой. На координатной сетке кратчайший путь между двумя точками является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — расстояния по горизонтали (запад–восток) и по вертикали (север–юг). GPS-приёмники выполняют миллионы подобных вычислений в секунду для определения координат.

История теоремы

Хотя теорема носит имя греческого математика Пифагора (ок. 570–495 до н. э.), это соотношение было известно задолго до него. Вавилонские глиняные таблички около 1800 года до н. э. содержат пифагоровы тройки — целочисленные решения, такие как 3-4-5, 5-12-13 и 8-15-17. Древние египтяне использовали верёвки с узлами, разделённые на 12 равных частей, для разметки прямых углов при строительстве.

Пифагору или его ученикам приписывают первое общее доказательство того, что соотношение выполняется для ВСЕХ прямоугольных треугольников, а не только для целочисленных случаев. Сегодня существует более 300 различных доказательств, в том числе геометрических, алгебраических и даже принадлежащее президенту США Джеймсу Гарфилду (1876 год).

Теорема обобщается во многих направлениях. В трёхмерном пространстве пространственная диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b, c равна √(a² + b² + c²). В специальной теории относительности Эйнштейна модифицированная форма этой теоремы появляется в формуле пространственно-временного интервала. Теорема также является основой формулы расстояния, используемой в аналитической геометрии и науке о данных.

Частые вопросы

›Какова формула теоремы Пифагора?

Формула: a² + b² = c², где a и b — два более коротких катета, а c — гипотенуза, наибольшая сторона, противолежащая прямому углу. Нахождение c: c = √(a² + b²). Нахождение катета: a = √(c² − b²).

›Как найти гипотенузу, зная оба катета?

Введите значение в поле катета a и катета b, а поле гипотенузы c оставьте пустым. Калькулятор автоматически вычислит c = √(a² + b²).

›Как найти катет, зная гипотенузу и второй катет?

Введите гипотенузу в поле c, а известный катет — в поле a или b. Поле с неизвестным катетом оставьте пустым. Калькулятор использует a = √(c² − b²) или b = √(c² − a²).

›Почему калькулятор сообщает, что гипотенуза слишком мала?

Гипотенуза всегда должна быть длиннее каждого из катетов. Если ввести c = 3 и a = 4, это невозможно, так как c < a. Проверьте, какое значение является гипотенузой — она всегда противолежит прямому углу (90°).

›Что такое пифагоровы тройки?

Пифагоровы тройки — наборы трёх натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению a² + b² = c². Самая известная — 3-4-5: 9 + 16 = 25. Другие примеры: 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25. Кратные любой тройки также работают: 6-8-10, 9-12-15 и т. д.

›Можно ли использовать калькулятор для непрямоугольных треугольников?

Нет — теорема Пифагора применяется только к прямоугольным треугольникам. Для треугольников без угла 90° используйте теорему косинусов. Прямоугольный треугольник определяется наличием угла, равного ровно 90°.

›Насколько точны результаты?

Калькулятор использует 64-битную арифметику с плавающей запятой, обеспечивающую около 15–16 значимых цифр точности. Результаты отображаются с точностью до 6 знаков после запятой. Для практических целей это значительно превышает точность физических измерений.

›Хранит ли этот инструмент мои данные?

Нет. Все вычисления выполняются локально в вашем браузере. Никакие введённые значения не отправляются на сервер и нигде не сохраняются.