Faktöriyel / Permütasyon / Kombinasyon Hesaplayıcı
n ve k değerlerini girin. n!, P(n,k) (sıralı seçimler) ve C(n,k) (sırasız seçimler) sonuçlarını alın. Olasılık, istatistik ve kombinatorik çalışmaları için kullanışlıdır.
Nasıl çalışır
Faktöriyel
n! ('n faktöriyel' okunur) 1'den n'ye kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Yani 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Kural olarak 0! = 1'dir (boş çarpım).
Faktöriyeller son derece hızlı büyür. 10! = 3,6 milyon, 20! = 2,4×10¹⁸, 100! ise 158 basamaklıdır. Kayan nokta aritmetiği 21!'de bozulur (çift duyarlıklı sınır nedeniyle); n=5000'e kadar kesin değerler için BigInt kullanıyoruz.
Permütasyon ve kombinasyon karşılaştırması
Permütasyon P(n,k) = n! / (n−k)!: n elemandan k tanesini sıralı seçme sayısı. P(5,2) = 20: birinci yere 5'ten birini, ikinci yere kalan 4'ten birini seç = 5×4 = 20.
Kombinasyon C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): sırasız seçme sayısı. C(5,2) = 10: aynı seçimler ama {birinci, ikinci} = {ikinci, birinci} sayıldığı için 2!'e bölünür. Ünlü 'n'den k seç' formülü.
Sıra önemliyse permütasyon kullanın (yarış podyumu, şifre sıralaması). Yalnızca seçilen küme önemliyse kombinasyon kullanın (piyango numaraları, komite seçimi). C(n,k) ≤ P(n,k) her zaman; k=1 olduğunda eşittirler.
Bu formüllerin kullanım alanları
Olasılık: zar, kart, yazı-tura. P(5 atışta 3 yazı) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Kombinasyonlar olumlu sonuçları saymanızı sağlar.
İstatistik: binom dağılımı C(n,k) kullanır. Yerine koyma olmaksızın örnekleme kombinasyonları kullanır.
Bilgisayar bilimi: alt kümeleri sayma, karmaşıklık analizi (örn. k-klik numaralandırma C(n,k) şeklindedir), grafik algoritmaları.
Gerçek hayat: piyango oranları (Milli Piyango: milyonlarca olası kombinasyon). Restoran menüsü: '8 garnitürden 3 seç' = C(8,3) = 56 yol.
Sık sorulan sorular
›Neden 0! = 1?
Kural olarak 'boş çarpım' 1'dir (tıpkı boş toplamın 0 olması gibi). Ayrıca C(n,0) = 1 (hiçbir şey seçmemenin bir yolu) gibi formüllerin tutarlı çalışmasını sağlar.
›Bu hesaplayıcı en büyük hangi faktöriyeli hesaplayabilir?
n=5000, 16.326 basamaklı bir sayı verir. Tarayıcının büyük girişlerde donmasını önlemek için 5000'de sınırlandırıyoruz. Daha büyükleri için bir CAS kullanın.
›Permütasyon ve kombinasyon arasındaki fark nedir?
Permütasyonda sıra önemlidir, kombinasyonda önemli değildir. {A,B} ile {B,A} aynı kombinasyondur ama AB ve BA şeklinde iki farklı permütasyondur.
›Faktöriyeller negatif sayılar için tanımlı mı?
Standart anlamda değil. Gama fonksiyonu Γ(x), faktöriyeli tüm gerçek (ve karmaşık) sayılara genişletir, ancak hesaplayıcımız yalnızca negatif olmayan tam sayıları destekler.
›Kombinasyon formülü nedir?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). 'n'den k seç' olarak okunur. Eşdeğer olarak: P(n,k) / k! (sıra önemli olmadığından).
›Bu hesaplayıcı ne kadar doğru?
Aralık içindeki tüm değerler için kesin. BigInt aritmetiği kullandığımızdan kayan nokta hatası yoktur.
›Neden 70!, 60!'tan çok daha büyük?
Her faktöriyel bir sonraki tam sayıyla çarpılır. 70! yaklaşık olarak 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1,4×10¹⁷'dir. Faktöriyeller üstel büyümeden daha hızlı büyür; Stirling yaklaşımıyla yaklaşık n^n × e^-n × √(2πn).
›Veriler tarayıcımdan çıkıyor mu?
Hayır. Hesaplama yerel olarak çalışır; hiçbir şey sunucuya gönderilmez.
İlgili araçlar
Son güncelleme: