機率計算機 — 基本機率、排列、組合、骰子

四種模式集於一體：從有利結果和總結果計算基本機率、排列nPr、組合nCr，以及多個骰子擲出特定總點數的機率。結果以分數、小數、百分比和賠率形式呈現。

有利結果數總結果數

機率

50%

分數: 1/2
小數: 0.5
支持賠率: 1:1
反對賠率: 1:1

運作原理

基本機率、賠率及其區別

機率是有利結果與等可能總結果之比：P = 有利結果 / 總結果。範圍從0（不可能）到1（確定），通常以百分比表示。對於一個公平的六面骰子，擲出4點的機率為1/6 ≈ 16.667%。

賠率是表達同一資訊的另一種方式。事件發生的「支持賠率」為有利：不利，因此擲出4的賠率為1:5。「反對賠率」相反：5:1。賠率在體育博彩和紙牌遊戲中常用，機率在統計學和科學中更為普遍。

本計算機自動將分數化簡為最簡分數，並並排顯示小數和百分比形式，方便在不同表示方式之間轉換。

排列與組合的區別

兩者都涉及從n個中選取r個，但排列中順序有意義，組合中順序無關。排列nPr = n! / (n − r)! 計算有序排列數。組合nCr = n! / (r! × (n − r)!) 計算無序子集數。

範例：從{A, B, C}中選2個字母。排列：AB, BA, AC, CA, BC, CB — 6個有序對，nPr = 3! / 1! = 6。組合：AB, AC, BC — 3個無序子集，nCr = 3! / (2! × 1!) = 3。由於每個組合產生r!個排列，因此nPr = nCr × r! 恆成立。

支援的最大n為170。超過此值，n!將超出JavaScript浮點數範圍（約1.8 × 10³⁰⁸）。對於非常大的n或r，請考慮使用對數計算或符號計算函式庫。

骰子機率與乘法法則

擲多個相同骰子時，每個骰子相互獨立。總結果數為面數的骰子數次方（面數^骰子數）。達到特定總點數的方式數透過計算組合數求得：將總點數分配給所有骰子，使每個骰子顯示1到面數之間的值。

本計算機使用動態規劃精確計算給定目標總點數的組合方式數。例如，擲2d6（兩個六面骰子）得到總點數7：有6種方式（1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1），共36種，機率為6/36 = 1/6 ≈ 16.667%。

支援的骰子類型：d4、d6、d8、d10、d12、d20（標準桌遊RPG骰子）。骰子數量為1到6。目標總點數必須在骰子數（全為1）到骰子數×面數（全為最大值）之間。

常見問題

›排列和組合有什麼區別？

排列計算有序排列（AB ≠ BA）；組合計算無序子集（AB = BA）。nPr = n! / (n−r)!；nCr = n! / (r! × (n−r)!)。當r > 1時，nPr ≥ nCr 恆成立。

›為什麼n限制為170？

JavaScript使用64位元IEEE 754浮點數。170! ≈ 7.26 × 10³⁰⁶可以用雙精度表示；171!會溢位為Infinity。如需更大的階乘，請使用BigInt或基於對數的方法。

›賠率與機率有何不同？

機率 P = 有利結果 / 總結果。支持賠率 = 有利 : 不利 = P : (1−P)。反對賠率 = 不利 : 有利。25%的機率對應支持賠率1:3（或反對賠率3:1）。

›0!等於多少？

依照慣例，0! = 1。這使得當r = 0或r = n時，nCr和nPr的公式保持一致性。

›能計算擲出至少某個總點數的機率嗎？

此工具無法直接計算。對於「至少」的機率，請將從最小值到最大值（骰子數×面數）的所有精確機率相加。骰子分頁可給出每個特定總點數的精確機率。

›nC0或nCn等於多少？

兩者都等於1。選擇0個元素只有一種方式（空集），選擇全部元素也只有一種方式。

›大階乘的計算結果準確嗎？

對於n ≤ 170，結果在浮點表示範圍內準確。當n接近170時，由於除法中的浮點捨入，最後幾位可能存在較小的相對誤差。

›資料會離開我的瀏覽器嗎？

不會。所有計算均在JavaScript本地執行，不會向伺服器傳輸任何資料。