حاسبة المصفوفات — الجمع والضرب والمحدد
أدخل قيم المصفوفة A (والمصفوفة B للعمليات الثنائية) واحسب النتيجة فورياً. يدعم مصفوفات 2×2 و3×3 مع خمس عمليات: الجمع والطرح والضرب والنقل والمحدد.
المصفوفة A
المصفوفة B
املأ قيم المصفوفة أعلاه للحساب.
كيف تعمل
ما هي المصفوفات ولماذا هي مهمة
المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. تحتوي المصفوفة m×n على m صفاً و n عموداً. تُمثّل المصفوفات الأشياء الأساسية في الجبر الخطي، الذي يُعدّ اللغة الرياضية لعلوم البيانات والرسومات الحاسوبية وعمليات المحاكاة الفيزيائية وتحسين الهندسة.
يُحدَّد كل عنصر في المصفوفة بفهرس صفه وعموده. يُكتب العنصر في الصف i والعمود j بالرمز aᵢⱼ. في مصفوفة 2×2، a₁₁ هو العنصر الأعلى-الأيسر، وa₁₂ الأعلى-الأيمن، وa₂₁ الأسفل-الأيسر، وa₂₂ الأسفل-الأيمن. للمصفوفات المربعة (المتساوية الصفوف والأعمدة) خصائص إضافية كالمحدد والأثر لا تُعرَّف للمصفوفات غير المربعة.
تمثّل المصفوفات التحويلات الخطية — دوال ترسم المتجهات إلى متجهات مع الحفاظ على الجمع والضرب العددي. تمثّل المصفوفة 2×2 أي مزيج من الدوران والتحجيم والانعكاس والقص في المستوى ثنائي الأبعاد. يُمثّل ضرب مصفوفتين تركيب تحويليهما المقابلين: إذا كانت A تدور بـ 45° وB تحجّم بمقدار 2×، فإن AB تطبق الدوران أولاً ثم التحجيم.
عمليات المصفوفات شرح وتفصيل
تستلزم عمليتا الجمع والطرح أن تكون للمصفوفتين نفس الأبعاد. تُجمع العناصر المقابلة أو تُطرح: (A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. الجمع إبدالي (A+B = B+A) أما الطرح فليس كذلك (A−B ≠ B−A بوجه عام).
ضرب المصفوفات أكثر تعقيداً وليس إبدالياً — إذ AB ≠ BA بوجه عام. في حالة مصفوفتين مربعتين n×n، يساوي عنصر الصف i والعمود j في الحاصل حاصل الضرب النقطي للصف i من A مع العمود j من B: (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ. تستلزم عملية 2×2 ثمانية ضربات وأربعة جمعات.
النقل (الترانسبوز) للمصفوفة A ويُرمز له بـ Aᵀ يُحصل عليه بقلب الصفوف والأعمدة: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ. يصبح الصف الأول من A العمودَ الأول من Aᵀ. يُستخدم النقل على نطاق واسع في الانحدار بالمربعات الصغرى (تشتمل المعادلات الطبيعية على AᵀA) وتحليل المكونات الرئيسية والانتشار الخلفي في الشبكات العصبية.
المحدد قيمة عددية تلخّص المصفوفة المربعة. لمصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]]، det = ad − bc. لمصفوفة 3×3 يُحسب بالتوسيع وفق العوامل المشتركة على طول الصف الأول. تُسمى المصفوفة ذات المحدد الصفري مصفوفةً منفردة — لا معكوس لها، أي أن التحويل المقابل يُطوّي الفضاء إلى بُعد أدنى.
تطبيقات حسابات المصفوفات في الواقع
تعتمد الرسومات الحاسوبية اعتماداً كلياً على عمليات المصفوفات. كل دوران وإزاحة وتحجيم وإسقاط منظوري يُطبَّق على مشهد ثلاثي الأبعاد يُمثَّل ضرباً مصفوفياً على إحداثيات متجانسة. تضرب خطوط أنابيب التصيير سلسلة من مصفوفات 4×4: تُدمج مصفوفات النموذج والمشهد والإسقاط (تُضرب معاً) قبل تطبيقها على كل رأس. تُحسَّن وحدات معالجة الرسومات GPU خصيصاً لهذا الحِمل الحسابي.
في تعلم الآلة، تخزّن الشبكات العصبية أوزانها في مصفوفات. يُعدّ المرور الأمامي عبر طبقة ضرباً مصفوفياً بين متجه الإدخال (أو مصفوفة الدُفعة) ومصفوفة الأوزان، يعقبه دالة تنشيط غير خطية. يحسب التدريب عبر الانتشار الخلفي التدرجات باستخدام النقل: δL/δW = xᵀ · δL/δy. تُجري نماذج اللغة الكبيرة كـ GPT مليارات من ضربات المصفوفات في كل مرور أمامي.
يمكن كتابة أنظمة المعادلات الخطية وحلها باستخدام المصفوفات. النظام ax + by = e و cx + dy = f يكافئ المعادلة المصفوفية [[a,b],[c,d]] · [x,y]ᵀ = [e,f]ᵀ. إذا كان المحدد غير صفري، فالحل الوحيد هو x = [x,y]ᵀ = A⁻¹[e,f]ᵀ. تكمن العلاقة بين المحددات والمعكوسات وقابلية الحل في صميم التحليل العددي والحوسبة العلمية.
أسئلة شائعة
›لماذا ضرب المصفوفات غير إبدالي؟
يمثّل ضرب المصفوفات تركيب التحويلات الخطية. تماماً كما يختلف الدوران ثم التحجيم عن التحجيم ثم الدوران، يختلف AB عن BA في العموم. لا يتحقق الاستبدال إلا في حالات خاصة كأن تكون كلتا المصفوفتين قطريتين أو إحداهما مصفوفة الهوية.
›ماذا يعني محدد مساوٍ للصفر؟
يعني المحدد الصفري أن المصفوفة منفردة — لا معكوس لها. هندسياً، يُطوّي التحويل بُعداً واحداً على الأقل (يرسم الفضاء 2D على خط، أو 3D على مستوٍ أو خط). لنظام معادلات خطية، يعني ذلك إما انعدام الحلول أو وجود حلول لا نهائية.
›كيف أحسب معكوس مصفوفة؟
لمصفوفة 2×2 [[a,b],[c,d]]، المعكوس = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]، بشرط det = ad−bc ≠ 0. للمصفوفات الأكبر تُستخدم حذف غاوس أو تحليل LU. تحسب هذه الأداة المحدد والنقل حالياً؛ والمعكوس امتداد طبيعي لها.
›ما هي مصفوفة الهوية؟
مصفوفة الهوية I تحتوي على واحدات على القطر الرئيسي وأصفار في كل مكان آخر. وهي مكافئ المصفوفة للعدد 1: AI = IA = A لأي مصفوفة A متوافقة الحجم. الضرب في مصفوفة الهوية يُبقي المصفوفة دون تغيير.
›هل يمكنني ضرب مصفوفات بأحجام مختلفة؟
نعم، لكن يشترط أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B. مصفوفة m×n ضرب مصفوفة n×p ينتج مصفوفة m×p. تتعامل هذه الأداة فقط مع المصفوفات المربعة (2×2 أو 3×3). للعمليات على مصفوفات غير مربعة تحتاج إلى حاسبة أكثر تخصصاً.
›ما هو أثر المصفوفة؟
الأثر هو مجموع عناصر القطر (a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ). يساوي مجموع القيم الذاتية وثابت تحت تحويلات التشابه (A وP⁻¹AP لهما نفس الأثر). لا تعرض هذه الأداة الأثر حالياً، لكن يمكنك حسابه بجمع قيم القطر.
›هل الحسابات دقيقة؟
تستخدم الأداة حساب JavaScript القياسي بالفاصلة العائمة 64 بت. تُقرَّب النتائج إلى 10 منازل عشرية للعرض. للإدخالات الصحيحة تكون معظم النتائج دقيقة. للمصفوفات الكبيرة أو سيئة الشرط قد يُدخل تقريب الفاصلة العائمة أخطاءً صغيرة في الأرقام الأخيرة.
›ماذا يعني «النقل» هندسياً؟
نقل المصفوفة يعكسها حول قطرها الرئيسي. إذا كانت A تمثّل تحويلاً خطياً، فإن Aᵀ تمثّل التحويل المصاحب. لمصفوفات الدوران (المصفوفات المتعامدة)، يساوي النقل المعكوس — الدوران بـ θ ثم بـ −θ يتراجع عن الدوران.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: