محلّ المعادلة التربيعية (ax² + bx + c = 0)
أدخل المعاملات a وb وc. يطبّق المحلّ صيغة x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. يميّز بين جذرين حقيقيين وجذر مكرر واحد وجذرين مركّبين مترافقين والحالات المتدهورة.
- المميّز (b² − 4ac)
- 1
- قمة القطع المكافئ
- (1.5, -0.25)
كيف تعمل
صيغة المعادلة التربيعية
لـ ax² + bx + c = 0 مع a ≠ 0، الحلول هي x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). التعبير تحت الجذر هو 'المميّز' (D = b² − 4ac)، وإشارته تحدد نوع الجذور.
D > 0: جذران حقيقيان مختلفان. يقطع القطع المكافئ محور x عند نقطتين.
D = 0: جذر حقيقي مكرر واحد. القطع المكافئ يلمس محور x عند القمة (مماسياً).
D < 0: جذران مركّبان مترافقان. القطع المكافئ لا يلمس محور x إطلاقاً.
القمة وشكل القطع المكافئ
كل معادلة تربيعية تُرسم كقطع مكافئ. القمة (نقطة الانعطاف) عند x = −b / 2a، وبالتعويض نحصل على الإحداثي y. نحسبه كـ y = −D / 4a، وهو مكافئ.
إذا كان a > 0 ينفتح القطع لأعلى والقمة هي نقطة الحد الأدنى. إذا كان a < 0 لأسفل والقمة هي نقطة الحد الأقصى. محور التماثل يمر بالقمة عمودياً.
الحالات المتدهورة
إذا كانت a = 0، المعادلة ليست تربيعية فعلاً — تصبح خطية: bx + c = 0، بحل x = −c/b (إذا b ≠ 0). نكتشف ذلك ونحل كمعادلة خطية.
إذا كانت a = 0 وb = 0: يجب أن تكون c = 0 لوجود أي حل. إذا c = 0، كل x حل؛ إذا c ≠ 0، لا حل. نُبلّغ بكلتا الحالتين.
أسئلة شائعة
›لماذا المميّز مفيد؟
يخبرك بطبيعة الجذور دون الحل: D > 0 يعني جذرين حقيقيين، D = 0 يعني مكرراً، D < 0 يعني مركّبة. كثيراً ذلك هو كل ما تحتاج معرفته.
›ما هو 'الجذر المكرر'؟
عند D = 0، تعطي الصيغة x = −b/2a فقط. جبرياً، تتحلل المعادلة كـ a(x − r)² = 0، فيظهر r مرتين كجذر بـ 'تعدد 2'.
›هل الجذور المركّبة مفيدة واقعياً؟
نعم. دوائر التيار المتردد ومعالجة الإشارات وميكانيكا الكم وهندسة الطيران تستخدم الأعداد المركّبة. حتى عندما تكون الإجابة الفيزيائية حقيقية، الخطوات الوسيطة المركّبة شائعة.
›هل يمكنني حل معادلات تكعيبية أو أعلى درجةً هنا؟
لا في هذه الأداة. المعادلات التكعيبية والرباعية لها حلول حدّية لكنها أكثر تعقيداً. للحلول العددية لمتعددات حدود عالية الدرجة، استخدم NumPy أو نظام جبر حاسوبي كـ Sage/Mathematica.
›ماذا لو كانت معاملاتي كبيرة جداً؟
تتدهور دقة الفاصلة العائمة لـ D عندما يكون b² و4ac قريبَين جداً. لدقة مستوى البحث، استخدم مكتبة بحساب دقة عشوائية.
›ما معنى 'القمة' للقطع المكافئ؟
'نقطة الانعطاف' الوحيدة حيث يغير القطع الاتجاه (من تناقص لتزايد أو العكس). عند x = −b/(2a). مفيدة لإيجاد الحدود الدنيا/القصوى في مسائل التحسين.
›لماذا تُسمى الحلول 'جذوراً'؟
تاريخي: 'جذر' يترجم الكلمة اللاتينية radix، المستخدمة مجازياً كمصدر/أصل المعادلة. الجذور هي أين تساوي المتعددة الحدية صفراً.
›هل تغادر البيانات متصفحي؟
لا. الحساب يعمل محلياً؛ لا يُرسل شيء للخادم.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: