حاسبة الاحتمالات — أساسية، تباديل، توافيق، نرد
أربعة أوضاع في أداة واحدة: الاحتمال الأساسي من النتائج المواتية والإجمالية، التباديل nPr، التوافيق nCr، واحتمال الحصول على مجموع محدد برمي عدة نردات. تُعرض النتائج كسرًا وعشريًا ونسبة مئوية وأوزانًا.
- كسر
- 1/2
- عشري
- 0.5
- الأوزان لصالح
- 1:1
- الأوزان ضد
- 1:1
كيف تعمل
الاحتمال الأساسي والأوزان وفروقاتهما
الاحتمال هو نسبة النتائج المواتية إلى إجمالي النتائج المتساوية الاحتمال: P = مواتية / إجمالي. يتراوح بين 0 (مستحيل) و1 (مؤكد) ويُعبَّر عنه غالبًا كنسبة مئوية. بالنسبة لنرد سداسي الوجوه عادل، احتمال الحصول على 4 هو 1/6 ≈ 16.667%.
الأوزان (Odds) طريقة أخرى للتعبير عن المعلومة ذاتها. أوزان حدوث حدث معين تُعطى بصيغة مواتية : غير مواتية، لذا فأوزان الحصول على 4 هي 1:5. أوزان عدم الحدوث هي العكس: 5:1. الأوزان شائعة في الرهانات الرياضية وألعاب الورق، بينما تُستخدم الاحتمالات أكثر في الإحصاء والعلوم.
تُبسِّط هذه الآلة الكسر تلقائيًا إلى أبسط صورة وتعرض الشكل العشري والنسبة المئوية جنبًا إلى جنب، مما يسهّل التحويل بين التمثيلات المختلفة.
التباديل مقابل التوافيق
كلاهما يتعلق باختيار r عناصر من مجموعة مؤلفة من n، لكن الترتيب مهم في التباديل وليس في التوافيق. التباديل nPr = n! / (n − r)! يحسب الترتيبات المرتبة. التوافيق nCr = n! / (r! × (n − r)!) يحسب المجموعات الفرعية غير المرتبة.
مثال: اختيار حرفين من {A, B, C}. التباديل: AB, BA, AC, CA, BC, CB — 6 أزواج مرتبة، nPr = 3! / 1! = 6. التوافيق: AB, AC, BC — 3 مجموعات فرعية غير مرتبة، nCr = 3! / (2! × 1!) = 3. بما أن كل توافق يُنتج r! تبادلًا، يصح دائمًا nPr = nCr × r!.
الحد الأقصى المدعوم لـ n هو 170. بعد ذلك، يتجاوز n! نطاق الفاصلة العائمة في JavaScript (حوالي 1.8 × 10³⁰⁸). بالنسبة لـ n أو r كبيرة جدًا، فكر في الحسابات اللوغاريتمية أو المكتبات الرمزية.
احتمال النرد وقاعدة الضرب
عند رمي عدة نردات متطابقة، تكون كل نردة مستقلة. إجمالي النتائج هو عدد الوجوه مرفوعًا لقوة عدد النردات. يُحسب عدد الطرق للوصول إلى مجموع محدد بعدّ التوزيعات: توزيع المجموع على جميع النردات بحيث تُظهر كل نردة قيمة بين 1 وعدد الوجوه.
تستخدم هذه الآلة البرمجة الديناميكية لحساب العدد الدقيق للتوزيعات للمجموع المستهدف المحدد. مثلًا، رمي نردتين سداسيتين (2d6) والحصول على مجموع 7: هناك 6 طرق (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) من أصل 36، مما يعطي احتمالًا 6/36 = 1/6 ≈ 16.667%.
أنواع النرد المدعومة: d4 وd6 وd8 وd10 وd12 وd20 (نردات ألعاب الطاولة RPG القياسية). عدد النردات من 1 إلى 6. يجب أن يكون المجموع المستهدف بين عدد النردات (كلها بقيمة 1) وعدد النردات × عدد الوجوه (كلها بالقيمة القصوى).
أسئلة شائعة
›ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟
التباديل تحسب الترتيبات المرتبة (AB ≠ BA)؛ التوافيق تحسب المجموعات الفرعية غير المرتبة (AB = BA). nPr = n! / (n−r)!؛ nCr = n! / (r! × (n−r)!). عند r > 1 يصح دائمًا nPr ≥ nCr.
›لماذا يُحدَّد n بـ 170؟
يستخدم JavaScript فاصلة عائمة IEEE 754 بـ 64 بت. 170! ≈ 7.26 × 10³⁰⁶ يناسب double؛ أما 171! فيفيض إلى Infinity. للمضاريب الأكبر استخدم BigInt أو أسلوبًا مبنيًا على اللوغاريتم.
›كيف تختلف الأوزان عن الاحتمال؟
الاحتمال P = مواتية / إجمالي. الأوزان لصالح = مواتية : غير مواتية = P : (1−P). الأوزان ضد = غير مواتية : مواتية. احتمال 25% يقابله أوزان 1:3 (لصالح) أو 3:1 (ضد).
›ما قيمة 0!؟
باتفاق، 0! = 1. يُبقي هذا معادلات nCr وnPr متسقة عندما يكون r = 0 أو r = n.
›هل يمكنني حساب احتمال الحصول على مجموع لا يقل عن قيمة معينة؟
ليس بشكل مباشر باستخدام هذه الأداة. للاحتمالات «على الأقل»، اجمع الاحتمالات الدقيقة لجميع القيم المستهدفة من الحد الأدنى إلى الأقصى (عدد النردات × عدد الوجوه). تبويب النرد يعطي الاحتمال الدقيق لكل مجموع محدد.
›ما قيمة nC0 أو nCn؟
كلاهما يساوي 1. هناك طريقة واحدة بالضبط لعدم اختيار أي شيء (المجموعة الفارغة) وطريقة واحدة بالضبط لاختيار كل شيء.
›هل هذه الآلة دقيقة للمضاريب الكبيرة؟
للـ n حتى 170، تكون النتائج دقيقة ضمن تمثيل الفاصلة العائمة. للـ n القريب من 170، قد تظهر أخطاء نسبية صغيرة في الأرقام الأخيرة بسبب التقريب أثناء القسمة.
›هل تغادر أي بيانات متصفحي؟
لا. جميع الحسابات تعمل محليًا في JavaScript. لا يُرسَل أي شيء إلى أي خادم.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: