حاسبة نظرية فيثاغورس — إيجاد أي ضلع
تطبّق هذه الحاسبة نظرية فيثاغورس (a² + b² = c²) لإيجاد أي ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية. أدخل الضلعين a و b لإيجاد الوتر، أو أدخل الوتر وأحد الضلعين لإيجاد الضلع الآخر. تشمل النتائج المساحة والمحيط والزوايا الثلاث بالدرجات.
C (90°)
|\
| \
| \ c (hypotenuse)
b | \
| \
A----------B
aاترك حقلًا واحدًا فارغًا وستقوم الحاسبة بإيجاد قيمته. الحقل المميّز يعرض القيمة المحسوبة.
جميع الأضلاع
- a
- 3
- b
- 4
- c
- 5
جميع الزوايا
- الزاوية A
- 36.869898°
- الزاوية B
- 53.130102°
- الزاوية C (قائمة)
- 90° ✓
كيف تعمل
ما هي نظرية فيثاغورس؟
تنصّ نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعَي الضلعين القائمين: a² + b² = c². والوتر هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة (90°) وهو دائمًا أطول أضلاع المثلث.
تُستخدم النظرية في اتجاه واحد لإيجاد الوتر: c = √(a² + b²). وتعمل أيضًا في الاتجاه العكسي لإيجاد ضلع مجهول: a = √(c² − b²) أو b = √(c² − a²). الصيغ الثلاث متاحة في هذه الحاسبة — اترك الحقل المجهول فارغًا.
إضافةً إلى أطوال الأضلاع، تُحدَّد جميع زوايا المثلث القائم بالكامل من خلال نسب أضلاعه. الزاوية A = arctan(a/b)، والزاوية B = arctan(b/a)، والزاوية C دائمًا 90° تمامًا. المساحة ببساطة (a × b) / 2 لأن الضلعين القائمين يشكّلان زاوية قائمة ويعملان كقاعدة وارتفاع.
تطبيقات نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية
تُوظَّف النظرية باستمرار في البناء والنجارة. للتحقق من أن الزاوية قائمة تمامًا، يستخدم البنّاؤون قاعدة «3-4-5»: إذا كان أحد الضلعين 3 وحدات والآخر 4، فيجب أن يكون الوتر 5 بالضبط. مضاعفات هذه النسبة (6-8-10، 9-12-15، إلخ) تنتج زاوية قائمة أيضًا. هذه الحيلة أقدم من الرياضيات المكتوبة وتظهر في السجلات المصرية والبابلية القديمة.
تعتمد تقنية الشاشات على النظرية لحساب القياس القطري. فشاشة «27 بوصة» تقيس 27 بوصة قطريًا — والعرض والارتفاع الفعليان هما ضلعا المثلث القائم. أدخل العرض والارتفاع في هذه الحاسبة للتحقق من القطر الفعلي لأي شاشة.
تستخدم الملاحة ورسم الخرائط النظرية لإيجاد المسافات في خط مستقيم. على خريطة بشبكة إحداثيات، يمثّل أقصر مسار بين نقطتين وترًا لمثلث قائم، ضلعاه القائمان هما المسافتان شرقًا-غربًا وشمالًا-جنوبًا. يُجري جهاز GPS ملايين الحسابات المماثلة في الثانية لتحديد الموقع.
تاريخ النظرية
رغم نسبتها إلى الرياضي الإغريقي فيثاغورس (حوالي 570–495 ق.م.)، كانت هذه العلاقة معروفة قبله بكثير. تتضمن الألواح الطينية البابلية من حوالي 1800 ق.م. ثلاثيات فيثاغورية — حلولًا صحيحة كـ 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17. وكان قدماء المصريين يستخدمون حبالًا معقودة مقسّمة إلى 12 جزءًا متساويًا لرسم الزوايا القائمة في البناء. وقد استخدم علماء الرياضيات المسلمون في العصر الذهبي، أمثال الخوارزمي وثابت بن قرّة، هذه النظرية وطوّروا برهانًا جبريًا لها.
يُنسب إلى فيثاغورس أو أتباعه أول برهان عام يثبت صحة العلاقة لجميع المثلثات القائمة وليس للحالات الصحيحة فحسب. يوجد اليوم أكثر من 300 برهان مختلف، منها الهندسي والجبري، وحتى برهان الرئيس الأمريكي جيمس غارفيلد عام 1876.
تتعمّم النظرية في اتجاهات عديدة. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات ذي الأضلاع a و b و c هو √(a² + b² + c²). وفي النسبية الخاصة لأينشتاين، تظهر صورة معدّلة منها في صيغة الفاصل الزمكاني. كما أن النظرية هي أساس معادلة المسافة المستخدمة في الهندسة التحليلية وعلوم البيانات.
أسئلة شائعة
›ما صيغة نظرية فيثاغورس؟
الصيغة هي a² + b² = c²، حيث a و b الضلعان القائمان (الأقصر)، و c هو الوتر — أطول الأضلاع المقابل للزاوية القائمة. لإيجاد c: c = √(a² + b²). لإيجاد ضلع قائم مجهول: a = √(c² − b²).
›كيف أجد الوتر إذا عرفت الضلعين القائمين؟
أدخل قيمة في الضلع a وفي الضلع b، واترك حقل الوتر c فارغًا. ستحسب الحاسبة تلقائيًا c = √(a² + b²).
›كيف أجد ضلعًا قائمًا إذا عرفت الوتر والضلع القائم الآخر؟
أدخل الوتر في الحقل c والضلع القائم المعلوم في الحقل a أو b. اترك حقل الضلع المجهول فارغًا. ستستخدم الحاسبة a = √(c² − b²) أو b = √(c² − a²).
›لماذا تقول الحاسبة إن الوتر صغير جدًا؟
يجب أن يكون الوتر دائمًا أطول من كل ضلع قائم. إذا أدخلت c = 3 و a = 4، فذلك مستحيل لأن c < a. تحقق من أي القيم هو الوتر — فهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة (90°).
›ما الثلاثيات الفيثاغورية؟
الثلاثيات الفيثاغورية هي مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق a² + b² = c². أشهرها 3-4-5: 9 + 16 = 25. ومنها أيضًا 5-12-13 و8-15-17 و7-24-25. مضاعفات أي ثلاثية تعمل كذلك: 6-8-10 و9-12-15 وما شابهها.
›هل يمكنني استخدام الحاسبة للمثلثات غير القائمة؟
لا — نظرية فيثاغورس تنطبق على المثلثات القائمة فقط. للمثلثات التي لا تحتوي على زاوية 90°، استخدم قانون جيب التمام. المثلث القائم يُعرَّف بوجود زاوية واحدة تساوي 90° بالضبط.
›ما مدى دقة النتائج؟
تستخدم الحاسبة حساب الفاصلة العائمة 64-بت، مما يوفر نحو 15–16 رقمًا معنويًا من الدقة. تُعرض النتائج بما يصل إلى 6 منازل عشرية. وللأغراض العملية، يتجاوز ذلك بكثير دقة القياسات الفيزيائية.
›هل تخزّن هذه الأداة بياناتي؟
لا. تتم جميع الحسابات محليًا في متصفحك. لا يُرسَل أي من القيم المدخلة إلى خادم ولا يُخزَّن في أي مكان.
أدوات ذات صلة
آخر تحديث: